단순 가군

환론에서 단순 가군(單純加群, 영어: simple module)은 그 부분가군이 자신 또는 0밖에 없는 가군이다. 즉, 0이 아닌 원소 하나만으로 생성되는 부분가군이 항상 전체 가군과 같은 경우다.

정의

환 ${\displaystyle R}$의 오른쪽 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 오른쪽 가군 ${\displaystyle M}$을 단순 오른쪽 가군(영어: simple right module)이라고 한다.

• ${\displaystyle M}$은 정확히 두 개의 부분 ${\displaystyle R}$-가군을 갖는다. (이들은 영가군 ${\displaystyle \{0\}}$ 및 ${\displaystyle M}$ 전체이다.)
• ${\displaystyle M}$의 길이가 1이다.
• ${\displaystyle M}$은 영가군이 아니며, 임의의 ${\displaystyle m\in M\setminus \{0\}}$에 대하여 순환 가군(영어: cyclic module) ${\displaystyle (m)=M}$이다.
• ${\displaystyle M\cong R/{\mathfrak {m}}}$인 극대 오른쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset R}$가 존재한다.

왼쪽 가군에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다.

기약 표현

 이 부분의 본문은 기약 표현입니다.

군 표현은 체를 계수로 하는 군환에 대한 가군이다. 즉, ${\displaystyle G}$가 군이고, ${\displaystyle V}$가 체 ${\displaystyle k}$에 대한 벡터 공간이라면, 표현 ${\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V)}$는 군환 ${\displaystyle k[G]}$에 대한 가군과 같다. 이 경우, 가군으로서 단순 가군인 군 표현을 기약 표현(irreducible representation)이라고 한다. 즉, 기약표현은 (자신 또는 0차원 표현을 제외한) 부분표현을 가지지 않는 표현이다.

예

영가군은 정의에 따라 단순 가군이 아니다.

단순 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-가군은 소수 크기의 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}$이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Irreducible module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 반단순 가군