멱등원

환론과 모노이드 이론에서, 멱등원(冪等元, 영어: idempotent element)은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.

정의

범주의 멱등 사상

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 자기 사상 ${\displaystyle e\colon X\to X}$가 ${\displaystyle e\circ e=e}$를 만족시킨다면, ${\displaystyle e}$를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 멱등 사상(영어: idempotent morphism)이라고 한다.

만약 ${\displaystyle e=g\circ f}$이며 ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}$가 되는 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle g\colon Y\to X}$가 존재한다면, ${\displaystyle e}$를 분할 멱등 사상(영어: split idempotent morphism)이라고 한다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 카루비 껍질(영어: Karoubi envelope) ${\displaystyle \operatorname {Split} ({\mathcal {C}})}$는 다음과 같은 범주이다.

• ${\displaystyle \operatorname {Split} ({\mathcal {C}})}$의 대상 ${\displaystyle (X,e)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$과 ${\displaystyle X}$ 위의 멱등 사상 ${\displaystyle e\colon X\to X}$의 순서쌍이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Split} ({\mathcal {C}})}$의 사상 ${\displaystyle f\colon (X,e)\to (X',e')}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to X'}$ 가운데, ${\displaystyle e'\circ f=f=f\circ e}$인 것이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {e}{\to }}&X\\{\scriptstyle f}\downarrow &{\scriptstyle f}\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\X'&{\underset {e'}{\to }}&X'\end{matrix}}}$

• ${\displaystyle (X,e)}$ 위의 항등 사상은 ${\displaystyle e\in \hom _{\mathcal {C}}(X,X)}$이다.

카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

그렇다면, 충실충만한 함자

${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Split} ({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle X\mapsto (X,\operatorname {id} _{X})}$

${\displaystyle f\mapsto f}$

가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치

${\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})\simeq \operatorname {PSh} (\operatorname {Split} ({\mathcal {C}}))}$

가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자

${\displaystyle \operatorname {Split} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {PSh} (\operatorname {Split} ({\mathcal {C}}))\simeq \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})}$

가 존재한다.

모노이드의 멱등원

모노이드 ${\displaystyle (R,\cdot )}$의 원소 ${\displaystyle e\in R}$가 ${\displaystyle e^{2}=e\cdot e=1}$을 만족시킨다면, ${\displaystyle e}$를 ${\displaystyle R}$의 멱등원이라고 한다.

모노이드 ${\displaystyle R}$의 멱등원들만으로 구성된 집합 ${\displaystyle E\subseteq R}$에서, 만약

${\displaystyle ee'=e'e\qquad \forall e\in E}$

가 성립한다면, ${\displaystyle E}$가 직교 멱등원 집합(영어: set of mutually orthogonal idempotents)이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드(영어: nilpotent monoid)라고 하며, 그 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. ${\displaystyle n}$개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005345)

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\prod _{i=1}^{k}(k-i+1)^{2^{i}}}$

환의 멱등원

환은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

환 ${\displaystyle R}$의 멱등원 ${\displaystyle e\in R}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원(영어: primitive idempotent)이라고 한다.

• ${\displaystyle (eR)_{R}}$는 ${\displaystyle R}$-분해 불가능 오른쪽 가군이다.
• ${\displaystyle _{R}(Re)}$는 ${\displaystyle R}$-분해 불가능 왼쪽 가군이다.
• 환 ${\displaystyle eRe}$의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
• ${\displaystyle e=e_{1}+e_{2}}$이자 ${\displaystyle e_{1}e_{2}=e_{1}e_{2}}$, ${\displaystyle e_{1}\neq 0\neq e_{2}}$인 멱등원 ${\displaystyle e_{1},e_{2}\in R}$가 존재하지 않는다.

환 ${\displaystyle R}$의 멱등원 ${\displaystyle e\in R}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원(영어: local idempotent)이라고 한다.

• 오른쪽 가군 자기 사상환 ${\displaystyle \operatorname {End} (eR_{R},eR_{R})}$는 국소환이다.
• 왼쪽 가군 자기 사상환 ${\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}Re,{}_{R}Re)}$는 국소환이다.
• ${\displaystyle eRe}$는 국소환이다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

예

멱등 함수

집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서의 멱등 사상은 멱등 함수(영어: idempotent function)라고 한다. 즉, 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 함수 ${\displaystyle e\colon X\to X}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle X}$ 위의 멱등 함수라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle e(e(x))=e(x)}$

멱등 함수 ${\displaystyle e\colon X\to X}$의 경우, 고정점 집합과 상이 일치한다.

${\displaystyle \{x\in X\colon x=e(x)\}=\{e(x)\colon x\in X\}}$

또한, 이는 함자

${\displaystyle \operatorname {Split} (\operatorname {Set} )\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle (X,e)\mapsto e(X)}$

${\displaystyle (f\colon (X,e)\to (X',e'))\mapsto (f|_{e(X)}\colon e(X)\to e'(X'))}$

를 이루며, 이는 충실충만한 매장

${\displaystyle \operatorname {Set} \to \operatorname {Split} (\operatorname {Set} )}$

${\displaystyle X\mapsto (X,\operatorname {id} _{X})}$

${\displaystyle f\mapsto f}$

의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.

멱등 함수의 예로서 다음을 들 수 있다.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 폐포 ${\displaystyle \operatorname {cl} \colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$는 멱등 함수이다. 그 상이자 고정점 집합은 닫힌집합들이다.
• 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$가 ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1}-(x_{1}+\cdots +x_{n})/n,\dots ,x_{n}-(x_{1}+\cdots +x_{n})/n)}$으로 정의되었을 때, ${\displaystyle f}$는 멱등 함수이다. ${\displaystyle f}$의 상이자 고정점 집합은 산술 평균이 0인 원소들이다. 이는 분산의 정의에서 산술 평균 대신 제곱 평균을 사용하는 한 가지 동기가 된다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Idempotent”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Idempotent matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Free idempotent monoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Idempotent”. 《nLab》 (영어). 
• “Split idempotent”. 《nLab》 (영어). 
• “Karoubi envelope”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: idempotent”. 《ProofWiki》 (영어). 2010년 5월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 24일에 확인함.