물체의 위치 P 와 진근점 이각 f 를 나타낸 그림. 타원의 중심은 C 로, 타원의 초점은 F 로 표시되어 있다. 진근점 이각 (영어 : true anomaly )은 천체물리학 에서 케플러 궤도 를 따라 움직이는 물체의 위치를 정하는 각 변수 이다. 진근점 이각은 타원의 주초점 에서 바라본 궤도 근점 과 물체의 현재 위치 간의 각도이다.
진근점 이각은 보통 그리스 문자 ν 또는 θ , 또는 라틴 문자 f 로 표시된다.
위의 그림에 보여지듯이, 진근점 이각 f 는 편심 이각 과 평균 근점 이각 과 함께 궤도에서의 물체의 위치를 정하는 세 변수 중 하나이다.
타원 궤도에서는 진근점 이각 ν 은 궤도 상태 벡터 로부터 계산될 수 있다.
ν ν -->
=
arccos
-->
e
⋅ ⋅ -->
r
|
e
|
|
r
|
{\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}
(만약 r ⋅ v < 0ν 를 2π − ν 로 치환 )
원 궤도의 경우에는 진근점 이각이 정의되지 않는데, 이는 원 궤도는 특정할 만한 궤도 근점 이 없기 때문이다. 이 때는 진근점 이각 대신 위도 인수 u 가 사용된다.
u
=
arccos
-->
n
⋅ ⋅ -->
r
|
n
|
|
r
|
{\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}
(만약 rz < 0u 를 2π − u 로 치환 n 은 승교점을 향한 벡터를 말한다(즉 z 요소의 n 값은 0이다).
궤도 경사 가 0인 원 궤도에서는 특정할 만한 궤도 교점 이 없어 위도 인수 또한 정의되지 않는다. 따라서 이 때는 진 경도 (true longitude)를 사용한다.
l
=
arccos
-->
r
x
|
r
|
{\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}
(만약 vx > 0l 를 2π − l 로 치환 )
진근점 이각 ν 와 편심 이각 E 사이의 관계는 다음과 같다.
cos
-->
ν ν -->
=
cos
-->
E
− − -->
e
1
− − -->
e
cos
-->
E
{\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}
또는 사인 과 탄젠트 를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.[ 1]
sin
-->
ν ν -->
=
1
− − -->
e
2
sin
-->
E
1
− − -->
e
cos
-->
E
{\displaystyle \sin {\nu }={{{\sqrt {1-e^{2}}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}}
tan
-->
ν ν -->
=
sin
-->
ν ν -->
cos
-->
ν ν -->
=
1
− − -->
e
2
sin
-->
E
cos
-->
E
− − -->
e
{\displaystyle \tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}={{{\sqrt {1-e^{2}}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}}
이는 아래의 식과 동등하다.
tan
-->
ν ν -->
2
=
1
+
e
1
− − -->
e
tan
-->
E
2
.
{\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e} \over {1-e}}}\tan {E \over 2}.}
그러므로, 다음과 같이 나타난다.
ν ν -->
=
2
a
r
g
-->
(
1
− − -->
e
cos
-->
E
2
,
1
+
e
sin
-->
E
2
)
{\displaystyle \nu =2\,\mathop {\mathrm {arg} } \left({\sqrt {1-e}}\,\cos {\frac {E}{2}},{\sqrt {1+e}}\sin {\frac {E}{2}}\right)}
arg(x , y )는 벡터 (x , y )의 극 성분이다(이는 대부분의 프로그램에 내장된 atan2(y , x ) ArcTan[x , y ]으로 계산할 수 있다).
반지름(타원의 초점과 물체 사이의 거리)는 진근점 이각과 다음과 같은 관계가 있다.
r
=
a
⋅ ⋅ -->
1
− − -->
e
2
1
+
e
cos
-->
ν ν -->
{\displaystyle r=a\cdot {1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}
a 는 궤도 긴반지름 이다.
↑ Fundamentals of Astrodynamics and Applications by David A. Vallado
참조 Murray, C. D. & Dermott, S. F. 1999, Solar System Dynamics , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4
Plummer, H.C., 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, New York. OCLC 1311887 (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)
