Omomorfismo di anelli

In algebra, un omomorfismo di anelli è una funzione fra due anelli che conserva le due operazioni di addizione e moltiplicazione.

Definizione

Siano ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ e ${\displaystyle (B,\oplus ,\odot )}$ due anelli. Una funzione ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ è un omomorfismo di anelli se, per ogni ${\displaystyle a,b\in A}$,

• ${\displaystyle f(a+b)=f(a)\oplus f(b);}$
• ${\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b).}$

Di conseguenza, ${\displaystyle f}$ è un omomorfismo di anelli se e solo se è un omomorfismo tra i gruppi ${\displaystyle (A,+)}$ e ${\displaystyle (B,\oplus )}$ e tra i semigruppi ${\displaystyle (A,\cdot )}$ e ${\displaystyle (B,\odot )}$.

Se ${\displaystyle f}$ è una funzione biunivoca, allora la sua inversa ${\displaystyle f^{-1}}$ è anch'essa un omomorfismo di anelli. In tal caso, ${\displaystyle f}$ è detto isomorfismo di anelli.

La composizione di due omomorfismi di anelli è un omomorfismo di anelli. La classe di tutti gli anelli con i loro omomorfismi forma quindi una categoria.

Omomorfismi unitari

Se i due anelli sono unitari, e l'immagine dell'unità di ${\displaystyle A}$ è l'unità di ${\displaystyle B}$, allora l'omomorfismo è detto unitario. Spesso, in contesti in cui tutti gli anelli considerati sono unitari (come ad esempio nella gran parte dell'algebra commutativa) vengono considerati solo gli omomorfismi unitari.

In questo caso, ${\displaystyle f}$ induce una mappa tra gli elementi invertibili di ${\displaystyle A}$ e gli elementi invertibili di ${\displaystyle B}$, che risulta essere un omomorfismo di gruppi.

Esempi

Esempi banali di omomorfismi sono l'identità ${\displaystyle \mathrm {id} :A\longrightarrow A}$, l'inclusione di anelli ${\displaystyle i:A\longrightarrow B}$ (dove ${\displaystyle B}$ è un sottoanello di ${\displaystyle A}$) e l'omomorfismo nullo che manda ogni elemento di ${\displaystyle A}$ nello zero di ${\displaystyle B}$. Mentre l'identità è sempre un omomorfismo unitario e l'omomorfismo nullo non lo è mai, un'inclusione può non essere unitaria anche se entrambi gli anelli possiedono unità: ad esempio, se ${\displaystyle A}$ è un anello, ${\displaystyle A\times A}$ il prodotto diretto di ${\displaystyle A}$ con sé stesso (ovvero il prodotto cartesiano dotato delle operazioni termine a termine) allora l'inclusione ${\displaystyle f}$ tale che ${\displaystyle f(a)=(a,0)}$ è un omomorfismo, ma non è un omomorfismo unitario.

Un altro esempio di omomorfismo è la funzione ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{n}}$, definita come ${\displaystyle f(a)=[a]}$ (dove ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ è l'anello delle classi di resto modulo ${\displaystyle n}$). Viceversa, l'unico omomorfismo da ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ è l'omomorfismo nullo.

Dato un anello commutativo ${\displaystyle A}$, e un elemento ${\displaystyle a\in A}$, la funzione che associa ad ogni polinomio ${\displaystyle p}$ di ${\displaystyle A[X]}$ la sua valutazione ${\displaystyle p(a)}$ è un omomorfismo da ${\displaystyle A[X]}$ ad ${\displaystyle A}$, detto omomorfismo di valutazione. Esso è usato, ad esempio, nella teoria di Galois e nello studio dei polinomi a valori interi.

Proprietà

• Il nucleo di ${\displaystyle f}$,

${\displaystyle \ker(f)=\{a\in A|f(a)=0\}}$

è un ideale bilatero di ${\displaystyle A}$. Viceversa, ogni ideale bilatero di ${\displaystyle A}$ è il nucleo di un omomorfismo di anelli. Al contrario, gli ideali destri ma non sinistri (o viceversa) non sono nuclei di alcun omomorfismo. Se ${\displaystyle A}$ è commutativo e ${\displaystyle B}$ è un dominio d'integrità, allora il nucleo è un ideale primo di ${\displaystyle A}$.

• L'immagine di ${\displaystyle f}$ è un sottoanello di ${\displaystyle B}$.
• Se ${\displaystyle A}$ è un corpo (ad esempio, se è un campo) ed ${\displaystyle f}$ è non nullo, allora è iniettivo. Questo segue dal fatto che i corpi non hanno ideali bilateri non banali.
• Per ogni anello unitario ${\displaystyle A}$, esiste un solo omomorfismo unitario dall'anello dei numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ad ${\displaystyle A}$, detto omomorfismo caratteristico dell’anello ${\displaystyle A}$. Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ è quindi un oggetto iniziale della categoria degli anelli unitari.

Bibliografia

• Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9.

Voci correlate

• Omomorfismo
• Anello (algebra)
• Ideale (matematica)