Miguel (Michele) Burro Fleta era il quattordicesimo figlio di Vicente Burro Gayán e María Fleta Esparragüerri. La sua famiglia era molto povera. Da giovane Fleta si esibiva come cantante di jota, e iniziò gli studi di canto classici solo nell'autunno del 1917 a Barcellona presso l'insegnante Luisa Pierrick, che poi divenne sua moglie.
Nel 1926 Fleta e Luisa Pierrick, che nel frattempo avevano avuto due figli tra cui il tenore Pierre Fleta nato il 4 luglio 1925 a Villefranche-sur-Mer, si separarono.
Nel 1927, a causa di una faringite, non poté onorare il suo contratto con la Metropolitan Opera, cosa che lo portò a dover sostenere un processo civile presso un giudice di Madrid.
Durante la sua breve ma importante carriera, Fleta fu molto ammirato per la finezza con cui usava la sua voce ricca, flessibile e capace di grande estensione, e per la sua padronanza della tecnica del belcanto grazie alla quale era in grado di eseguire una perfetta mezza voce ed impressionanti filature di potenti note acute ridotte fino a flebile suono pianissimo. Fu uno dei modelli cui si ispirò il celebre soprano spagnolo Montserrat Caballé.
