Nata e cresciuta a Milano da una famiglia originaria di Catania, inizia il suo percorso teatrale negli anni settanta, con una significativa esperienza nella compagnia sperimentale Quelli di Grock. Partecipa a varie performance della compagnia, tra cui il surreale Spariamo alle farfalle, e a molti altri spettacoli dalla comicità originale e stralunata, come Felice e Carlina, La città degli animali, Giochiamo che io ero, Vieni nel mio sogno, Dudu Dada. Nel 1980 Angela Finocchiaro allestisce, con Carlina Torta e Amato Pennasilico, lo spettacolo Panna Acida, nome che passerà poi ad indicare un nuovo gruppo teatrale e nel 1979 partecipa al film che le darà notorietà nazionale, Ratataplan di Maurizio Nichetti.
A questa prima esperienza nel cinema fa seguito, dopo un anno, la partecipazione al successivo film di Nichetti, Ho fatto splash. Negli stessi anni partecipa, sotto la guida di Gaetano Sansone, a un allestimento per il Carnevale di Venezia su testi di Giorgio Manganelli, ed intanto, scrive, interpreta e allestisce, sempre con Carlina Torta e Amato Pennasilico, il secondo spettacolo del nuovo gruppo teatrale "Panna Acida", Scala F (1981), dedicandosi anche alla conduzione e ideazione della trasmissione radiofonica Torno subito.
Nel 1982-1983 partecipa come co-protagonista allo spettacolo Arsenico e vecchi merletti (Teatro Nuova Scena), mentre nel 1984 frequenta il seminario del Teatro di Porta Romana tenuto da Dominic De Fazio, cura lo spettacolo Miami per la rassegna del comune meneghino "Milano d'estate", e partecipa al saggio di drammaturgia della Civica Scuola di Teatro Paolo Grassi a Milano. Continua intanto il sodalizio con Maurizio Nichetti, e partecipa a una trasmissione per Rete 4, intitolata Quo vadiz?, realizzata dallo stesso Nichetti con Gabriele Salvatores. Scrive, per il gruppo teatrale Panna Acida, lo spettacolo Viola, e nel 1985 gira l'Italia per proporre i cavalli di battaglia di quel gruppo. Rappresenta Viola e Scala F al Festival Internazionale di Manizales (Colombia) e tiene un seminario per gli attori dell'Accademia d'arte drammatica di Bogotà.
Nella stagione 1985-1986 Angela Finocchiaro debutta nel cabaret, interpretando il monologoBocconcini di Giancarlo Cabella. Poco dopo (1988-1989) porta in scena lo spettacolo teatrale in forma di monologo La stanza dei fiori di china, scritto da Giancarlo Cabella e ispirato al romanzo Fiori per Algernon di Daniel Keyes. Lo spettacolo ottiene un grande successo tanto da essere ripreso a distanza di dieci anni. Nello stesso periodo, Angela Finocchiaro è tra le protagoniste della trasmissione La TV delle ragazze, condotta su Rai 3 da Serena Dandini. Prende parte anche al cast di Zanzibar, andato in onda su Italia 1 nel 1988.
Successivamente porta in teatro vari testi di Stefano Benni, a partire da La misteriosa scomparsa della Signorina W (1994-1995, ripreso nel 1997), proseguendo con Pinocchia, assieme a Ivano Marescotti, per giungere al fortunato Benneide, con repliche dal 2001 al 2004. Nel 2003-2004 ha preso parte al programma comico Zelig su Canale 5 ed è stata protagonista di Mammamia!, serie TV su Rai 2 di brevi comiche mute, scritte, dirette e co-interpretate da Maurizio Nichetti. Nel settembre 2004 Angela Finocchiaro ha interpretato il monologo Teatro anatomico durante una puntata della trasmissione Report.
Il 14 novembre 2018 destò scalpore un suo sketch andato in onda su Rai 3 nel programma La tv delle ragazze nel quale, di fronte a una platea di bambine, pronunciava la battuta "bambine, ricordatevi che gli uomini sono tutti pezzi di m**da, soprattutto il tuo papà", alimentando polemiche relative al contenuto misandrico della battuta.[1][2]