סווירי החל את הקריירה הספורטיבית שלו בשנת 1969 כמזכיר הפועל רמת גן.
יצחק אופק, מזכ"ל הפועל באותן שנים, התרשם מכישוריו של סווירי, והציע לו להצטרף לצוות העובדים במרכז "הפועל".
בשנת 1975 מונה למזכיר "הפועל" מחוז דן, ולאחר מכן שימש גזבר מרכז "הפועל". בתפקיד זה עמל ליצירת המערכת הפיננסית בסניפים ובמרכז "הפועל". כחבר בכיר במזכירות מילא משימות רבות.
בין ההישגים הרבים שרשם סווירי בתקופת כהונתו כיו"ר ההתאחדות לכדורגל היו:
צמצום הליגה הבכירה ל-12 קבוצות.
שילוב השחקנים הזרים בליגות המקצועניות בישראל. התאפשר לאחר מאבק ארוך עם מוסדות מרכז "הפועל" וההסתדרות. בשלב ראשון אושר שילובם של שני שחקנים זרים בכל קבוצה בליגת העל.
העברת משרדי ההתאחדות לכדורגל למשכנם הקבוע. משכן המשמש את משרדי ההתאחדות לכדורגל בישראל עד היום.
הקמת הרשות לבקרה תקציבית והמוסד לבוררות כגופים עצמאיים במסגרת ההתאחדות לכדורגל. מהלך שנועד למנוע התמוטטות מועדוני הכדורגל בתחום התקציבי. הבקרה התקציבית הוקמה בתחילת שנות ה-90 בעקבות המלצות של ועדה ציבורית שמונתה על ידי ההתאחדות לכדורגל. תפקידה לפקח על האיזון התקציבי של האגודות ולאורך זמן להבריא את קבוצות הכדורגל בליגות המקצועניות מהבחינה התקציבית. התאחדות הכדורגל האירופאית (UEFA) אימצה אף היא מהלך זה ומשנת 2006, חלה חובה על המדינות החברות, להכיל פיקוח על המועדונים המשתתפים בגביעי אופ"א, כשהבקרה התקציבית משמשת כמפקח על הקריטריון הפיננסי במסגרת זו. כיום, אין להעלות על הדעת ניהול הליגות ללא הבקרה התקציבית.
קבלתה של ישראל ב-1992 כחברה מלאה בהתאחדות הכדורגל האירופאית (UEFA). ישראל, שהייתה חברה בקונפדרציית הכדורגל של אסיה (AFC) מ-1956, סולקה ממנה בלחץ מדינות ערב ב-1974. בעקבות כך, הוביל סווירי תהליך מתמשך למול מוסדות הכדורגל האירופאים ונציגי התאחדויות מכל רחבי היבשת, לקבלת ישראל כחברה בהתאחדות הכדורגל האירופאית. במשך שנים, ביקרו בישראל ראשי התאחדות הספורט באירופה: יו"ר ההתאחדות הכדורגל האנגלית, יו"ר ההתאחדות הכדורגל הגרמנית, יו"ר ההתאחדות הספרדית, יו"ר התאחדות הכדורגל השוודית, סגן נשיא פיפ"א ועוד רבים מראשי ההתאחדויות באירופה. לאחר טורניר אליפות העולם בשנת 1990, שנערך באיטליה, החלו המאמצים להניב פירות ובין השנים 1990 לשנת 1992, עברו כל נבחרות ישראל בכדורגל לשחק במסגרות אירופאיות באופן מלא.
החלו לפעול משחקי ה"וינר" שהכפילו ושילשו את הכנסות המועצה להסדר ההימורים בספורט, ומהווים מקור ההכנסה העיקרי של המועצה עד עתה.
העברת משרדי המועצה להסדר ההימורים למשרדים חדשים וקבועים, אשר משמשים את המועצה עד היום.
פרש מתפקידו כמנכ"ל המועצה להסדר הימורים בספורט בשנת 2004.
מפרישתו ועד שנת 2016 כיהן כמ"מ יו"ר הוועד לספורט הפראלימפי, וכיו"ר סניף איל"ן ברמת גן.
התנדבות באיל"ן
סווירי היה ממתנדביה הוותיקים והבולטים של עמותת איל"ן. התנדב במשך כ-20 שנה במרכז הספורט של העמותה ברמת גן, ושימש כחבר בהנהלת המרכז ובועדות השונות. משנת 2005, היה יו"ר סניף רמת גן, בהמשך, חבר בוועד המנהל של איל"ן ועמד בראש ועדת הספורט. בנוסף, ייצג שאול את איל"ן במוסדות של ספורט הנכים בישראל, ובמשך שנים ארוכות, כיהן כמ"מ יו"ר ההתאחדות לספורט נכים והועד הפראלימפי.[1]
ב-2016 קיבל את אות "יקיר איל"ן" על תרומתו לקידום מעמד ספורט הנכים בישראל ובעולם, פועלו הרב לייצוג איל"ן, ועבודתו המסורה לעידוד תחום הספורט התחרותי והשיקומי בעמותה.[1]
