משוואה ממעלה רביעית

גרף של פולינום מדרגה 4. לפונקציה ארבעה שורשים, והם מהווים פתרון של המשוואה.

משוואה ממעלה רביעית היא משוואה מהצורה הבאה:

$${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$$

כאשר ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}}$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).

אם השדה ממאפיין שונה מ-2, אפשר להציב ${\displaystyle x=y-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}$ ולקבל משוואה ממעלה רביעית ב-${\displaystyle y}$, שבה המקדם של ${\displaystyle y^{3}}$ הוא אפס. משוואה כזאת נהוג לרשום באופן הבא:

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

במקרים רבים כאשר דנים במשוואות ממעלה רביעית, הכוונה למשוואות מסוג זה.

היסטוריה

ערך מורחב – היסטוריה של פתרון המשוואות ממעלה שלישית ורביעית

את הפתרון של משוואות ממעלה רביעית מצא לודוביקו פרארי (Ludovico Ferrari) האיטלקי, בשנת 1540, כשלושים שנה אחרי שנמצא הפתרון למשוואה ממעלה שלישית^[1]. בעקבות פתרונות אלו, האמינו המתמטיקאים של סוף תקופת הרנסאנס שאפשר יהיה לפתור גם משוואות ממעלה גבוהה יותר באותו אופן, ומאמצים ניכרים הושקעו בבעיה זו. יותר ממאתיים שנה חלפו עד שפאולו רופיני ונילס הנריק אבל הראו שפתרון כזה אינו אפשרי (ראו משפט אבל-רופיני), ואווריסט גלואה הניח את היסודות לתורת גלואה, שמסבירה את ההבדל היסודי בין משוואות ממעלה חמישית ומעלה (שאינן ניתנות לפתרון על ידי פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק והוצאת שורש) ובין משוואות ממעלה נמוכה יותר.

פתרון משוואה ממעלה רביעית

כפי שהוסבר במבוא, אפשר להניח שהמקדם של ${\displaystyle x^{3}}$ במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

ננסה לפרק את הפולינום למכפלת שני גורמים ממעלה שנייה:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+px^{2}+qx+r&=(x^{2}+Ax+B)(x^{2}+Cx+D)\\&=x^{4}+(A+C)x^{3}+(AC+B+D)x^{2}+(AD+BC)x+BD=0\end{aligned}}}$

מהשוואת המקדמים מתקבל

${\displaystyle {\begin{aligned}&A+C=0\\&p=B+D-AC\\&q=AD+BC\\&r=BD\end{aligned}}}$

נשכתב את השוויונות הראשונים באופן הבא:

${\displaystyle {\begin{aligned}&C=-A\\&B+D=A^{2}+p\\&D-B={\frac {q}{A}}\end{aligned}}}$

נחבר ונחסר את שני השוויונות האחרונים, ונקבל:

${\displaystyle {\begin{aligned}B={\frac {A^{2}+p}{2}}-{\frac {q}{2A}}\\D={\frac {A^{2}+p}{2}}+{\frac {q}{2A}}\\BD=r=\left({\frac {A^{2}+p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {q}{2A}}\right)^{2}\\\\(A^{2})^{3}+2p(A^{2})^{2}+(p^{2}-4r)A^{2}-q^{2}=0\end{aligned}}}$

זו משוואה ממעלה שלישית בנעלם ${\displaystyle A^{2}}$. לאחר שפותרים אותה נותר להציב בביטויים הקודמים כדי לקבל את ${\displaystyle B,C,D}$, ואז מתקבלים השורשים למשוואה המקורית על ידי פתרון משוואה ממעלה שנייה.

קשר לתורת גלואה

הפתרון דורש הוצאות שורש בסדר הבא: ראשית, יש לפתור משוואה ממעלה שלישית (ולשם כך יש להוציא שורש שני, ואז שורש שלישי). אחר כך מוציאים שורש שני (כדי לקבל את A), ושורש שני נוסף (כדי לקבל את השורש x). המספרים 2,3,2,2 עומדים בהתאמה לסדרים של גורמי ההרכב של החבורה הסימטרית מסדר 4 (ראו חבורה פתירה), ומדגימים את הקשר בין תת-השדות של שדה פיצול לתת-החבורות של חבורת גלואה (ראו תורת גלואה).

משוואה דו-ריבועית

אם המקדמים של ${\displaystyle x^{3},x}$ הם אפס, אזי המשוואה נקראת משוואה דו-ריבועית, והיא למעשה משוואה ריבועית במשתנה ${\displaystyle x^{2}}$; אלא שזה אינו המקרה הכללי. משוואה דו-ריבועית כזו אפשר לפתור בקלות על ידי הצבת ${\displaystyle x^{2}=t}$, ההופכת את המשוואה למשוואה ריבועית במשתנה ${\displaystyle t}$.

דוגמה למשוואה דו-ריבועית: ${\displaystyle x^{4}-5x^{2}+6=0}$. כאשר מציבים בה ${\displaystyle x^{2}=t}$ מתקבלת המשוואה הריבועית הבאה:

${\displaystyle t^{2}-5t+6=0}$

פתרונותיה הם ${\displaystyle t=2,3}$. לכן הפתרונות למשוואה המקורית הם ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {2}},\pm {\sqrt {3}}}$.

קישורים חיצוניים

• משוואה ממעלה רביעית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Lodovico Ferrari – Biography, Maths History (באנגלית)