חבורת גלואה

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות ${\displaystyle \ E/F}$ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה ${\displaystyle \ E}$, המעבירים כל איבר של השדה ${\displaystyle \ F}$לעצמו.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה ${\displaystyle \ E/F}$, זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

הגדרה

יהי ${\displaystyle \ F}$ שדה, ותהי ${\displaystyle \ E/F}$ הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה ${\displaystyle \ E/F}$ המסומנת ב-${\displaystyle \ \operatorname {G} \left(E/F\right)}$, ${\displaystyle \operatorname {Aut} \left(E/F\right)}$ או ב-${\displaystyle \ \operatorname {Gal} \left(E/F\right)}$ מוגדרת להיות

${\displaystyle \ \operatorname {G} \left(E/F\right)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} \left(E\right)|\sigma (x)=x;\forall x\in F\}}$

כאשר ${\displaystyle \operatorname {Aut} \left(E\right)}$ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה ${\displaystyle \ E}$.

קל לבדוק שזוהי אכן חבורה.

דוגמאות

• חבורת הגלואה של ההרחבה ${\displaystyle \ \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה. זאת מאחר שאם ${\displaystyle \sigma }$ בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים ${\displaystyle \sigma \left(i^{2}+1\right)=\sigma (i)^{2}+1=0}$. לכן ${\displaystyle \sigma (i)\in \{-i,i\}}$. לכן מתקיים לכל ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ כי ${\displaystyle \ \sigma (a+bi)=\sigma (a)+\sigma (b)\sigma (i)=a+b\cdot \sigma (i)}$. במעבר האחרון השתמשנו בכך ש${\displaystyle \ \sigma }$ משאירה את איברי ${\displaystyle \mathbb {R} }$ במקום. לכן ${\displaystyle \sigma \left(a+bi\right)=a+bi}$ או ${\displaystyle \sigma \left(a+bi\right)=a-bi}$.
• באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה ${\displaystyle \ \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)/\mathbb {Q} }$ מכילה שני איברים: העתקת הזהות, והעתקת ההצמדה: ${\displaystyle \sigma \left(a+b{\sqrt {2}}\right)=a-b{\sqrt {2}}}$
• חבורת הגלואה של ההרחבה ${\displaystyle \ \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$ מכילה רק את העתקת הזהות. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$ מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש-${\displaystyle \ \sigma (a^{2})=\sigma (a)^{2}}$ ולכן שומרת על יחס סדר.
• תהי ${\displaystyle \ F/\mathbb {Q} }$ הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של ${\displaystyle \ F/\mathbb {Q} }$ היא חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ F}$, כלומר ${\displaystyle \ \operatorname {Aut} \left(F\right)}$. זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
• יהי ${\displaystyle \ p}$ מספר ראשוני, ותהי ${\displaystyle \ K/\mathbb {F} _{p}}$ הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של ${\displaystyle \ K/\mathbb {F} _{p}}$ היא חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ K}$, כלומר ${\displaystyle \ \operatorname {Aut} \left(K\right)}$.
• חבורת הגלואה של ההרחבה ${\displaystyle \ \mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)/\mathbb {Q} }$ מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם ${\displaystyle \sigma }$ בחבורה, מתקיים ${\displaystyle \sigma \left({\sqrt[{3}]{2}}^{3}-2\right)=\sigma ({\sqrt[{3}]{2}})^{3}-2=0}$. לכן בהכרח ${\displaystyle \sigma \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)={\sqrt[{3}]{2}}}$. מאחר ש-${\displaystyle \{1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\}}$ בסיס, נובע כי ${\displaystyle \sigma }$ היא בהכרח העתקת הזהות.

שדה השבת

יהי ${\displaystyle \ E}$ שדה. תהי ${\displaystyle \ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right)}$ תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ E}$. נגדיר את שדה השבת של ${\displaystyle \ G}$, המסומן גם ב-${\displaystyle \ E^{G}}$ להיות הקבוצה הבאה:

${\displaystyle E^{G}=\{x\in E|\forall \sigma \in G:\sigma (x)=x\}}$

כלומר, שדה השבת של ${\displaystyle \ G}$ הוא קבוצת כל האיברים מהשדה ${\displaystyle \ E}$שכל איברי ${\displaystyle \ G}$ משאירים אותם במקום.

קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם ${\displaystyle \ E/F}$ הרחבת שדות ו-${\displaystyle \ G=\operatorname {G} \left(E/F\right)}$ אז ${\displaystyle F\leq E^{G}}$.

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם ${\displaystyle \ F=\mathbb {Q} }$ ו-${\displaystyle \ E=\mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}$, אז ראינו קודם ש-${\displaystyle \ G}$ מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי ${\displaystyle \ F\neq E^{G}=E}$

תכונות

• אם ההרחבה ${\displaystyle \ E/F}$ מממד סופי, מתקיים כי ${\displaystyle \ \left|\operatorname {G} \left(E/F\right)\right|\leq \left[E:F\right]}$, כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
• השוויון ${\displaystyle \ \left|\operatorname {G} \left(E/F\right)\right|=\left[E:F\right]}$ מתקיים אם ורק אם ${\displaystyle \ E/F}$ הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
• הלמה של ארטין: יהי ${\displaystyle \ E}$ שדה, ו-${\displaystyle \ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right)}$ תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ E}$. אזי אם ${\displaystyle \ E^{G}=F}$ מתקיים ${\displaystyle |G|\leq \left[E:F\right]}$. מתקיים אפילו ${\displaystyle G=\operatorname {G} \left(E/F\right)}$

קישורים חיצוניים

• חבורת גלואה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• חבורת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)