מנחם אבידום נולד בסטניסלב שבאוסטרו-הונגריה; שמו המקורי היה מָאהלֶר-קאלקשטיין (אמו הייתה דודנית של גוסטב מאהלר). שמו העברי הוא צירוף שמות בנותיו: (אבי-) דניאלה ומרים.
בין 1931 ל-1934 עסק בהוראת מוזיקה במצרים. המוזיקה המזרחית שאסף שם השפיעה על יצירות שחיבר, אך פסל בהמשך, על אף הצלחתן.
בשנים 1935 עד 1939 חיבר מוזיקה אטונאלית, אם כי לא הכיר את המוזיקה של ארנולד שנברג. יצירות שנכתבו בתקופה זו הן הסוויטה הפוליפונית, חמישיית כלי נשיפה, שלישיית קשת, "מקהלות" ושלושה קטעי פסנתר.
בשנת 1939 החל אבידום ליצור בסגנון ים תיכוני. יצירה אופיינית לתקופה זו, מן המושמעות ביותר, היא הקונצ'רטו לחליל (1944).
"סימפוניית דוד", סימפוניה מס' 2, נכתבה לרגל העלאת עצמות הרצל לירושלים ומקבילה בין ניצחון דוד על גוליית לניצחון ישראל על מדינות ערב (1949).
"סינפונייטה ים תיכונית", סימפוניה מס' 3 (1951).
"קטעים ראשונים למרים", לפסנתר (1952).
סימפוניה מס' 4, עושה שימוש במקצבי הורה בפרק השלישי (סקרצו) ובמחול דבקה דרוזי בפרק הרונדו המסיים (1955).
"בכל דור ודור", אופרה למילים של לאה גולדברג (1955).
"דו-זמר כפרי", לשתי חליליות סופרן (1955)
"קנטטת תהלים" : למקהלה מעורבת ללא לווי (1955).
"קנטטת מזמורים" (1956).
"דוד הנער וגלית הענק" - אופרה לילדים (1956).
"סימפוניית אילת", סימפוניה מס' 5, שהיא מחזור סימפוני בסגנון ים תיכוני של ארבעה שירים. בראשית היצירה מופיע מוטיב סינקופי, החוזר ומופיע בכל ארבעת פרקיה (1958).
סימפוניה מס' 6, גם היא בסגנון ים תיכוני. בפרק האחרון מופיעים מוטיבים תימניים בשילוב עם מוטיבים חסידיים (1958).
"סימפוניה עממית" מס' 1 (1945) (גרסה מתוקנת 1958).
"אלכסנדרה", ליברית של אהרן אשמן, לפי המחזה "אלכסנדרה החשמונאית" (1959).