הבעיה השבע-עשרה של הילברט

הבעיה השבע-עשרה מבין עשרים ושלוש הבעיות שהציג דויד הילברט בקונגרס המתמטי העולמי של שנת 1900, עוסקת בקשר בין סדר ותכונת החיוביות, לבין אריתמטיקה של שדות. השאלה הביאה את אמיל ארטין לפתח את תורת השדות הסדורים, העניקה דחיפה לתורת המודלים בלוגיקה מתמטית, וקידמה רבות את המחקר בתבניות ריבועיות.

• הבעיה. נניח כי ${\displaystyle f\in \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$ הוא פולינום ב-n משתנים, בעל מקדמים ממשיים, כך שלכל הצבה של ערכים ממשיים ${\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{n}}$ במקום המשתנים, מתקבל מספר שאינו שלילי. האם אפשר להציג את f כסכום של ריבועים של פונקציות רציונליות במשתנים ${\displaystyle \ x_{1},\dots ,x_{n}}$? (פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים).

אם הפונקציה היא סכום של ריבועים, כלומר ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})^{2}}$, אז היא בהכרח תקבל ערכים אי-שליליים בכל הצבה (משום שריבוע של מספר ממשי לעולם אינו שלילי). ב-1888 גילה הילברט שהתשובה שלילית בחוג הפולינומים. כלומר: מן העובדה שפולינום הוא חיובי בכל הצבה לא נובע שאפשר להציג אותו כסכום של ריבועים של פולינומים (כאשר ${\displaystyle n\geq 2}$). ב-1893 הוא הוכיח שהתשובה חיובית כאשר ${\displaystyle n=2}$: כל פולינום חיובי בשני משתנים, אפשר להציג כסכום של ארבעה ריבועים של פונקציות רציונליות בשני המשתנים.^[1]

בניסיון להשיב על הבעיה של הילברט, פיתחו אמיל ארטין ואוטו שרייר, באמצע שנות ה-20 של המאה ה-20, את התאוריה של שדות סדורים, ובפרט שדות סגורים ממשית. ב-1927 הצליח ארטין לענות בחיוב לבעיה של הילברט, בעזרת משפט שטורם (אנ') על אפסים של פולינומים.

ב-1953 פתר סרגיי לאנג את הבעיה בעזרת תכונות של תחומי שלמות אפיניים. ב-1955 חקר את הבעיה A. Robinson, שהראה שמספר הריבועים הדרושים להצגת פולינום חיובי חסום, ותלוי רק ב-n ובמעלת הפולינום. בהוכחה שלא פורסמה הכליל J. Ax את המשפט של הילברט על שני משתנים, והראה (בעזרת שיטות מקוהומולוגיית גלואה) שמספר הריבועים הדרוש בשלושה משתנים אינו עולה על 8.

בשנות השישים פיתח אלברכט פיסטר את התאוריה של תבניות פיסטר, והראה שכל סכום של ריבועים מעל השדה ${\displaystyle \ K=\mathbb {R} (x_{1},\dots ,x_{n})}$ הוא למעשה סכום של ${\displaystyle 2^{n}}$ ריבועים לכל היותר (ראו מספר פיתגורס). מכיוון שכבר ידוע שכל פונקציה חיובית היא סכום של ריבועים, זוהי הוכחה לכך שמספר הריבועים הדרוש לייצוג פונקציה חיובית אינו עולה על ${\displaystyle 2^{n}}$.

הערות שוליים

1. בתוצאות אלה אפשר להחליף את הממשיים בכל שדה סדור בעל סדר יחיד, כגון שדה סגור פיתגורי או שדה המספרים הרציונליים, אלא שמספר הריבועים סופי, אך אינו דווקא 4.