שדה סדור

שדה סדור (נקרא גם "שדה ממשי פורמלית") הוא שדה ${\displaystyle F}$, שמוגדר עליו יחס סדר מלא המכבד את פעולות השדה (ראו להלן).

המספרים המוכרים לנו מסודרים באופן טבעי, כשחושבים על מספר (ממשי) כעל אורך של קטע: אם קטע אחד מכיל קטע אחר, האורך של הקטע הראשון גדול יותר. המושג שדה סדור נועד ללכוד את הסדר הטבעי הזה ולהכליל אותו, כדי שאפשר יהיה לנצל את הרעיונות שקשורים ביחס הסדר בחקירת שדות אחרים.

הגדרה

הסדר המוגדר על השדה נדרש לכבד את פעולות החיבור והכפל:

1. איזוטוניות ביחס לסכום: לכל ${\displaystyle x,y,z\in F}$, אם ${\displaystyle x\leq y}$ אזי ${\displaystyle x+z\leq y+z}$
2. לכל ${\displaystyle x,y,z\in F}$, אם ${\displaystyle 0\leq x}$ ו- ${\displaystyle y\leq z}$, אז ${\displaystyle xy\leq xz}$.

(מהאקסיומות נובע למשל שכל מספר ${\displaystyle a^{2}}$ הוא אי שלילי, ובפרט ${\displaystyle 0\leq 1}$).

לחלופין, אפשר לדרוש שאוסף המספרים החיוביים (אלו הגדולים מאיבר האפס) יהיה סגור לחיבור ולכפל, ושאוסף זה יגדיר את הסדר במובן הבא: ${\displaystyle \ x<y}$ אם ורק אם ${\displaystyle \ y-x}$ חיובי. במקום להתמקד בסדר עצמו, אפשר לבחון את קבוצת האיברים החיוביים: תת-קבוצה P של שדה נקראת סדר (ordering), אם היא סגורה לחיבור ולכפל, ולכל איבר ${\displaystyle \ a\neq 0}$ בשדה מתקיים ${\displaystyle \ a\in P}$ או ${\displaystyle \ -a\in P}$. כל קבוצה כזו מגדירה יחס סדר. המאפיין של שדה סדור חייב להיות 0. מכך, מספר האיברים בשדה שכזה חייב להיות אינסופי.

דוגמאות

הדוגמאות החשובות ביותר לשדות סדורים הן השדה הרציונלי והשדה הממשי. בשני המקרים הסדר המוכר הוא הסדר היחיד האפשרי. את השדה המרוכב לא ניתן לסדר, משום ש ${\displaystyle \ -1=i^{2}}$ הוא ריבוע בשדה הזה. אף שדה מקומי לא ארכימדי אינו ניתן לסידור.

ישנם שדות שאפשר לסדר בכמה דרכים. למשל, בשדה ${\displaystyle \ \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\sqrt {2}}}$ (הנוצר על ידי הוספת השורש הריבועי של 2 לשדה המספרים הרציונליים), אפשר לקבוע ש-

• ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}>0}$ כאשר a,b שניהם חיוביים, או a חיובי ו- b שלילי וגם ${\displaystyle \ 2b^{2}<a^{2}}$, או a שלילי ו- b חיובי וגם ${\displaystyle \ a^{2}<2b^{2}}$; או
• ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}>0}$ כאשר a,b שניהם חיוביים, או a חיובי ו- b שלילי וגם ${\displaystyle \ 2b^{2}>a^{2}}$, או a שלילי ו- b חיובי וגם ${\displaystyle \ a^{2}>2b^{2}}$.

באופן כללי מספר הדרכים השונות לסדר שדה מספרים K שווה למספר הדרכים לשכן אותו בשדה המספרים הממשיים, ומספר זה קטן או שווה למימד של K.

דוגמה נוספת: בשדה ${\displaystyle \ \mathbb {R} ((x))}$ של טורי לורן אפשר לקבוע שאיבר ${\displaystyle \ \sum _{n=-N}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ הוא חיובי אם ורק אם ${\displaystyle \ 0<a_{-N}}$. תחת הסדר הזה x הוא איבר חיובי, הקטן מכל מספר ממשי חיובי.

סדר וריבועים

שדה שאפשר להגדיר עליו יחס סדר, באופן שיהפוך אותו לשדה סדור, נקרא שדה ניתן לסידור. שדה כזה מוכרח להיות בעל מאפיין 0. משפט ארטין-שרייר מאפיין את השדות הניתנים לסידור על-פי האריתמטיקה של השדה: F ניתן לסידור אם ורק אם ${\displaystyle \ (-1)}$ אינו סכום של ריבועים בשדה (ההוכחה לפי הלמה של צורן על אוסף הסידורים החלקיים); במילים אחרות, ${\displaystyle \ s(F)=\infty }$, כאשר s הוא הרמה של השדה. לדוגמה, שדות שבהם ${\displaystyle \ (-1)}$ הוא ריבוע, לא ניתן לסדר - משום שאז יתקבל ${\displaystyle \ 0=1+(-1)>0+0=0}$, סתירה. ממשפט ארטין-שרייר נובע כי איבר של שדה ניתן לסידור הוא חיובי בכל יחס סדר אפשרי של השדה, אם ורק אם אותו איבר הוא סכום של ריבועים. איבר כזה נקרא לפעמים חיובי לחלוטין.

לפי משפט ידוע של Springer, אם F סדור, אז כל שדה הרחבה K/F מממד אי-זוגי, ניתן גם הוא לסידור (מספר הדרכים להרחיב את הסדר של F אינו עולה על הממד ${\displaystyle \ [K:F]}$).

שדה נקרא פיתגורי אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע. לא כל שדה כזה ניתן לסידור (לדוגמה, בשדה המספרים המרוכבים כל מספר הוא ריבוע). אלו הם השדות שמספר פיתגורס שלהם שווה ל-1. שדה פיתגורי סדור, שכל הרחבה אלגברית סדורה שלו היא פיתגורית, נקרא שדה פיתגורי תורשתית. ידוע ש-F שדה כזה אם ורק אם מספר פיתגורס של ${\displaystyle \ F(x)}$ (שדה הפונקציות במשתנה אחד מעל F) שווה ל-2.

שדה סדור הוא אוקלידי, אם כל איבר חיובי שלו הוא ריבוע. כל שדה אוקלידי הוא פיתגורי (וסדור), משום שסכום של ריבועים הוא תמיד חיובי. לעומת זאת, לא כל שדה פיתגורי סדור הוא אוקלידי. אם אפשר לסדר שדה באופן שהוא יעשה אוקלידי, אז יש רק דרך אחת לסדר אותו (משום שריבוע מוכרח להיות חיובי בכל סדר אפשרי).

ארכימדיות ואוניברסליות

כל שדה סדור מכיל עותק של המספרים הטבעיים. אם כל איבר של השדה קטן מאיזשהו מספר טבעי, זהו שדה סדור ארכימדי, ואז המספרים הרציונליים צפופים בו. כל שדה סדור ארכימדי ניתן לשיכון בשדה המספרים הממשיים. לכל שדה סדור F, ${\displaystyle \ \{a\in F\,|\,\exists n\in \mathbb {N} :a<n\}}$ הוא תת-חוג מקומי של F, שהתמונה שלו היא שדה ארכימדי.

יהי F שדה סדור. שני איברים חיוביים x,y הם ברי-השוואה אם קיים n כך ש-${\displaystyle \ {\frac {1}{n}}<x/y<n}$. קבוצת מחלקות השקילות מהווה חבורה סדורה ביחס לכפל, ונקראת חבורת המחלקות הארכימדיות של השדה, וגם הטיפוס שלו. השדה הוא ארכימדי אם ורק אם הוא מטיפוס טריוויאלי. הרחבת שדות E/F היא הרחבה ארכימדית אם כל איבר של E בר-השוואה לאיבר של F. השדה סגור ארכימדית אם אין לו הרחבות ארכימדיות.

תהי ${\displaystyle \ \Gamma }$ חבורה אבלית סדורה ליניארית. אם F שדה כלשהו, מסמנים ב-${\displaystyle \ F(\!(\Gamma )\!)}$ את הסכומים הפורמליים ${\displaystyle \ \sum _{\gamma \in \Gamma }\alpha _{\gamma }\gamma }$ שיש להם תומך סדור היטב, עם החיבור והכפל הטבעיים. זהו שדה, הקרוי שדה האן מוכלל (על-שם Hans Hahn). אם F סדור, יש סדר טבעי ההופך גם את ${\displaystyle \ F(\!(\Gamma )\!)}$ לשדה סדור. משפט השלמות של האן קובע שלכל חבורה סדורה ${\displaystyle \ \Gamma }$, השדה הסדור היחיד מטיפוס ${\displaystyle \ \Gamma }$ שהוא סגור ארכימדית הוא השדה ${\displaystyle \ {\mathbb {R} }(\!(\Gamma )\!)}$. זוהי הכללה של העובדה ששדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור הארכימדי היחיד שהוא סגור ארכימדית. משפט השיכון של האן קובע שכל שדה סדור מטיפוס ${\displaystyle \ \Gamma }$ אפשר לשכן כתת-שדה של ${\displaystyle \ {\mathbb {R} }(\!(\Gamma )\!)}$ כך שההרחבה ארכימדית.

שדה המספרים הסוריאליסטיים הוא שדה סדור (שאינו קבוצה אלא מחלקה), וכל שדה סדור ניתן לשיכון בתוכו באופן יחיד.

סדר וטופולוגיה

בשדה ניתן לסידור, מוגדרת טופולוגיית Harrison על אוסף הסדרים האפשריים, שהבסיס שלה כולל את הקבוצות ${\displaystyle \ H_{a}=\{P\,|\,a\in P\}}$ לכל a שאינו אפס. הטופולוגיה הזו היא תמיד קומפקטית והאוסדורף מממד אפס (כלומר, יש לה בסיס של קבוצות שהן פתוחות וסגורות). כל מרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף ובעל ממד אפס הומיאומורפי למרחב הסדרים של שדה מתאים.

סגוֹרים

שדה סדור נקרא סגור ממשית (real closed), אם אין לו הרחבה אלגברית סדורה (לדוגמה, שדה המספרים הממשיים הוא סגור ממשית). כל שדה כזה הוא בוודאי אוקלידי.

כל שדה סדור F מוכל בשלושה שדות ${\displaystyle \ F\subseteq F_{pyth}\subseteq F_{e}\subseteq {\bar {F}}}$, שכולם אלגבריים מעל F, והם מקיימים את התכונות הבאות: ${\displaystyle \ {\bar {F}}}$ סגור ממשית (שלא כמו בניית הסגור האלגברי, בנייה זו אינה זקוקה ללמה של צורן); ${\displaystyle \ F_{e}}$ הוא שדה אוקלידי, שאפשר לקבל כשרשרת של הרחבות, שבכל אחת מהן מוסיפים לשדה הקודם את כל השורשים של איברים חיוביים; ואילו ${\displaystyle \ F_{pyth}}$ הוא שדה פיתגורי, המתקבל כחיתוך של כל תת-השדות הפיתגוריים של ${\displaystyle \ {\bar {F}}}$ המכילים את F.

מקורות

• "Summary on non-Archimedean valued fields", Angel Barrıa Comicheo and Khodr Shamseddine, Contemporary Mathematics 704, (2018).