מספר פיתגורס

באריתמטיקה של שדות, מספר פיתגורס של שדה שווה למספר הריבועים הנחוץ להצגת כל סכום של ריבועים בשדה. מקובל לסמן את מספר פיתגורס של השדה F ב-p(F). כתכונות אריתמטיות רבות אחרות, מספר פיתגורס של שדות עשוי להיות קשה לחישוב. הערך של מספר פיתגורס הוא 1 אם ורק אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע, כלומר השדה הוא שדה פיתגורי.

מספר פיתגורס של שדות שאינם סדורים

אפשר לסדר שדה אם ורק אם 1- אינו סכום של ריבועים. אם השדה F אינו ניתן לסידור, הגובה שלו הוא מספר הריבועים הנחוץ להצגת 1-. ידוע שהגובה, s(F), הוא תמיד חזקה של 2. עבור שדות שאינם ניתנים לסידור, ${\displaystyle \ s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1}$. מספר פיתגורס של שדה טורי לורן ${\displaystyle \ \mathbb {C} ((t))}$ הוא 2.

שדות מקומיים ושדות גלובליים

מספר פיתגורס של שדה המספרים הרציונליים הוא 4 (זהו משפט ארבעת הריבועים של לגרנז', בצירוף העובדה ש-7 אינו ניתן להצגה כסכום של שלושה ריבועים). בכל שדה מקומי, ובכל שדה מספרים שאינו ניתן לסידור, מתקיים ${\displaystyle \ p(F)=\operatorname {min} (s(F)+1,4)}$. בשדה מספרים K הניתן לסידור, מספר פיתגורס הוא 3 אם לכל ראשוני דיאדי הממד של ${\displaystyle \ K_{P}}$ מעל שדה המספרים ה-2-אדיים ${\displaystyle \ \mathbb {Q} _{2}}$ זוגי, ו-4 אחרת.

הרחבות סופיות

אם K/F הרחבה סופית של שדות ניתנים לסידור, אז ${\displaystyle \ 2\leq p(K)\leq [K:F]\,p(F)}$.

שדות פונקציות

ההתנהגות של מספר פיתגורס עם המעבר לשדה פונקציות אינה ברורה. לא ידוע אפילו האם ${\displaystyle \ p(K(x))}$ סופי לכל שדה K שמספר פיתגורס שלו סופי.

חישוב מספר פיתגורס של שדה הפונקציות ${\displaystyle \ {\mathbb {R} }(x_{1},\dots ,x_{n})}$ קשור בבעיה ה-17 של הילברט. ידוע שהמספר הזה אינו עולה על ${\displaystyle \ 2^{n}}$; זה נכון לכל שדה שדרגת הטרנסצנדנטיות שלו מעל שדה סגור ממשית (כגון שדה הממשיים ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$) היא n. ידוע ש-${\displaystyle \ p(\mathbb {R} (x))=2}$ (ואפילו ${\displaystyle \ {\tilde {p}}(\mathbb {R} )=2}$, ראו להלן), ו-${\displaystyle \ p(\mathbb {R} (x_{1},x_{2}))=4}$. עבור n>2 ידוע רק ש-${\displaystyle \ n+2\leq p({\mathbb {R} }(x_{1},\dots ,x_{n}))\leq 2^{n}}$.

בדומה לזה, ידוע ש- ${\displaystyle \ p({\mathbb {Q} }(x_{1},\dots ,x_{n}))\leq 2^{n+1}}$ לכל n>=2 (Jansen). עבור n=1 ידוע ש-${\displaystyle \ p({\mathbb {Q} }(x))=5}$ (Pourchet, 1971). באופן כללי יותר, לכל שדה מספרים ניתן לסידור K מתקיים ${\displaystyle \ p(K(x))\geq p(K)+1}$; ולכל שדה מספרים K שאינו ניתן לסידור, ${\displaystyle \ p(K(x))\geq s(K)+1}$. עבור ${\displaystyle \ F={\mathbb {Q} }_{\operatorname {pyth} }}$, הסגור הפיתגורי של שדה המספרים הרציונליים, ${\displaystyle \ p(F(x))\in \{3,4\}}$.

מסמנים ב-${\displaystyle \ {\tilde {p}}(F)}$ את הסופרימום של מספרי פיתגורס של ההרחבות הטרנסצנדנטיות מדרגה 1 של F. ידוע ש-${\displaystyle \ {\tilde {p}}(F)=s(F)+1}$ אם F אינו ניתן לסידור; ${\displaystyle \ {\tilde {p}}(\mathbb {Q} )\in \{5,6\}}$ (Pop, 1991); ${\displaystyle \ {\tilde {p}}(\mathbb {R} ((t)))=3}$.