חוג פרימיטיבי

בתורת החוגים, חוג פרימיטיבי הוא חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן. כתוצאה מכך, החוגים הפרימיטיביים הם תת-החוגים הצפופים בחוג אנדומורפיזמים של מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק.

החוגים הפרימיטיביים הם אחת המחלקות המרכזיות בתורת החוגים הלא-קומוטטיביים, והיא כוללת את כל החוגים הפשוטים. מאידך, כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני. בין החוגים הקומוטטיביים, כל חוג פרימיטיבי הוא שדה.

הגדרה

מודול ${\displaystyle M}$ מעל חוג ${\displaystyle R}$ הוא נאמן אם לא קיים ${\displaystyle 0\neq r\in R}$ כך ש-${\displaystyle rM=0}$. החוג ${\displaystyle R}$ הוא פרימיטיבי (שמאלי) אם יש לו מודול (שמאלי) פשוט ונאמן. בדומה לזה מגדירים חוג פרימיטיבי ימני; יש דוגמאות לחוגים שהם פרימיטיביים משמאל אבל לא מימין (ולהפך; ראו בהמשך).

אפיון פנימי

חוג ${\displaystyle R}$ הוא פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי מקסימלי, שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי. זה שקול לכך שקיים לו אידיאל שמאלי ${\displaystyle L}$ כך ש-${\displaystyle L+P=R}$ לכל אידיאל ראשוני ${\displaystyle P}$.

שיכון בחוגי אנדומורפיזמים

כל חוג פרימיטיבי אפשר לשכן כחוג צפוף בחוג אנדומורפיזמים מעל חוג עם חילוק, באופן הבא. נניח ש-${\displaystyle M}$ מודול (שמאלי) פשוט ונאמן של ${\displaystyle R}$. אז ${\displaystyle M}$ מודול ימני מעל ${\displaystyle D=\operatorname {End} _{R}(M)}$. מכיוון ש-${\displaystyle M}$ נאמן, ההעתקה הטבעית ${\displaystyle R\rightarrow \operatorname {End} M_{D}}$, המתאימה לאיבר ${\displaystyle a\in R}$ את הפונקציה ${\displaystyle x\mapsto ax}$, היא שיכון. חוג האנדומורפיזמים שבתוכו ${\displaystyle R}$ משוכן הוא בעל מבנה נוח במיוחד, משום שלפי הלמה של שור, ${\displaystyle D}$ הוא חוג עם חילוק. משפט הצפיפות של ג'ייקובסון קובע שתמונת ${\displaystyle R}$ בחוג האנדומורפיזמים היא צפופה, כלומר, לכל ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in M}$ בלתי תלויים ליניארית מעל ${\displaystyle D}$, ולכל ${\displaystyle w_{1},w_{2},...,w_{n}\in M}$ קיים ${\displaystyle r\in R}$ כך ש-${\displaystyle r(v_{i})=w_{i}}$ לכל ${\displaystyle i=1,...,n}$.

בפרט, אם ${\displaystyle M}$ בעל מימד סופי ${\displaystyle n}$ מעל ${\displaystyle D=End_{R}(M)}$, אז ${\displaystyle R}$ איזומורפי לחוג המטריצות ${\displaystyle M_{n}(D)}$. זהו המקרה למשל אם ${\displaystyle R}$ ארטיני. מכאן נובע שבין החוגים הארטיניים, המחלקות של חוגים פשוטים, פרימיטיביים וראשוניים, מתלכדות.

אלגברת המטריצות הסקלריות לבסוף (כלומר, העתקות ליניאריות של ${\displaystyle F^{\omega }}$ המקיימות ${\displaystyle Te_{i}=\lambda e_{i}}$ לאיזה ${\displaystyle \lambda }$ קבוע ולכל ${\displaystyle i\gg 1}$) היא דוגמה לאלגברה פרימיטיבית שאינה פשוטה (ועל כן, לאור הטענה הקודמת, לא ארטינית).

דוגמאות

כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי. בכיוון ההפוך, חוג פרימיטיבי מקומי משמאל (כלומר, כזה שיש לו אידיאל שמאלי מקסימלי יחיד) הוא פשוט. האלגברה החופשית מעל שדה ${\displaystyle F}$ היא חוג פרימיטיבי שאינו פשוט^[1], וכך גם חוג האנדומורפיזמים של מרחב וקטורי (ייתכן מממד אינסופי) מעל שדה.

כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני. אחת השיטות לקבל תוצאות על חוגים ראשוניים כלליים מן הידוע על חוגים פרימיטיביים, היא הבניה הבאה (של דונלד פסמן (אנ')): נניח ש-${\displaystyle R}$ חוג ראשוני, ${\displaystyle X}$ קבוצת משתנים שעוצמתה לפחות ${\displaystyle |R|}$, ו-${\displaystyle Y}$ קבוצת משתנים שעוצמתה שווה לזו של חוג טורי החזקות הלא-קומוטטיביים הפורמליים ${\displaystyle T=R\langle \langle X\rangle \rangle }$; אז חוג הפולינומים הלא קומוטטיביים ${\displaystyle T\langle Y\rangle }$ הוא פרימיטיבי.

יהי ${\displaystyle D}$ חוג עם חילוק. נסמן את המרכז שלו (שהוא שדה) ב-${\displaystyle F}$. חוג הפולינומים (הקומוטטיביים) ${\displaystyle D[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ הוא פרימיטיבי אם ורק אם שדה הפונקציות ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})}$ מוכל (כאלגברה מעל ${\displaystyle F}$) בחוג המטריצות ${\displaystyle \operatorname {M} _{m}(D)}$ לאיזשהו ${\displaystyle m}$^[2].

אם ${\displaystyle R}$ אלגברה ראשונית מעל שדה ${\displaystyle F}$ שאינו בן-מניה ועוצמתו גדולה משל הממד ${\displaystyle \operatorname {dim} _{F}(R)}$, ויש איבר ${\displaystyle x\in R}$ שיש לו חזקה שונה מאפס בכל אידיאל ראשוני שונה מאפס, אז ${\displaystyle R}$ פרימיטיבי. כל על מכפלה של חוגים פרימיטיביים היא פרימיטיבית (עמיצור).

אחת הבעיות המרכזיות באלגברות חבורה היא השאלה מתי אלגברה כזו היא פרימיטיבית (או פרימיטיבית למחצה). לפי משפט של פורמנק, אם ${\displaystyle A,B}$ חבורות (לא טריויאליות, וכך שלא שתיהן מסדר 2), ${\displaystyle G=A*B}$ היא המכפלה החופשית ו-${\displaystyle R}$ תחום שעוצמתו אינה עולה על של ${\displaystyle G}$, אז ${\displaystyle R[G]}$ פרימיטיבי. במקרה שבו ${\displaystyle R}$ שדה, ניתן לוותר על התנאי על העוצמות (שהוא הכרחי כאשר ${\displaystyle R}$ איננו שדה). מצד שני, קונל הראה כי ${\displaystyle R[G]}$ ראשוני אם ורק אם חוג הבסיס, ${\displaystyle R}$, ראשוני וגם לחבורה ${\displaystyle G}$ אין תתי חבורות נורמליות סופיות (אמיתיות).

ג'ייקובסון שאל האם חוג פרימיטיבי שמאלי הוא גם פרימיטיבי ימני - ושיער שהתשובה שלילית. אכן, בהיותו סטודנט לתואר ראשון מצא ברגמן דוגמה לחוג כזה. מאוחר יותר הציג Jategaonkar^[3] בנייה אחרת (שיש לה תכונות נוספות מעניינות).^[4]

משפט Kaplansky על חוגי PI קובע שחוג PI פרימיטיבי הוא אלגברה פשוטה בעלת ממד סופי מעל המרכז. לדוגמה, המישור הקוונטי ${\displaystyle F\langle x,y|yx=qxy\rangle }$, כאשר ${\displaystyle q\in F}$ קבוע שאינו שורש יחידה, הוא חוג פרימיטיבי שאינו PI.

אידיאלים פרימיטיביים

בדומה להגדרה של אידיאלים ראשוניים, אידיאל פרימיטיבי הוא אידיאל שהמנה ביחס אליו היא חוג פרימיטיבי. לחלופין, אלו הם המאפסים של מודולים פשוטים. כרגיל, אידיאל האפס פרימיטיבי אם ורק אם החוג עצמו פרימיטיבי. איחוד על פני שרשרת של אידיאלים פרימיטיביים לא חייב להיות פרימיטיבי (ואפילו לא ראשוני למחצה).

כל מודול פשוט מעל ${\displaystyle R}$ הוא מהצורה ${\displaystyle R/L}$ כאשר ${\displaystyle L}$ אידיאל שמאלי מקסימלי. מעובדה זו נובע שהליבה של אידיאל שמאלי מקסימלי (היינו, סכום האידיאלים הדו-צדדיים המוכלים בו) היא תמיד אידיאל פרימיטיבי, ושחוג הוא פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי מקסימלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.

רדיקל ג'ייקובסון של חוג מוגדר כחיתוך האידיאלים הפרימיטיביים. למרות ההבדל בין אידיאל (דו-צדדי) שהוא פרימיטיבי שמאלי לבין אידיאל פרימיטיבי ימני, החיתוך של שתי קבוצות האידיאלים שוות, כך שההגדרה של רדיקל ג'ייקובסון היא סימטרית. אם הרדיקל שווה לאפס, אומרים שהחוג הוא פרימיטיבי למחצה (לפעמים גם "פשוט למחצה במובן ג'ייקובסון", או "${\displaystyle J}$-פשוט למחצה"). זהו המקרה אם ורק אם החוג הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים.

ראו גם

• חוג פרימיטיבי למחצה

הערות שוליים

1. L.H.Rowen, Ring Theory I, Example 2.1.34; T.Y.Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Prop. 11.23
2. McConnel and Robson, Noncommutative Noetherian Rings, 9.6.11.
3. עליו ראו: גנאלוגיה מתמטית של Vasanti Arun Jategaonkar, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה.
4. L.H.Rowen, Ring Theory I, Example 2.1.36