הלמה של שור

באלגברה, הלמה של שור היא טענה בסיסית הקובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם לא אפס של מודול פשוט הוא אוטומורפיזם. לטענה שימושים רבים בקביעת המבנה של חוגים ארטיניים נוצרים סופית וכן בתורת ההצגות. הלמה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי ישי שור, שעסק בתורת ההצגות של חבורות.

ניסוח

יהי ${\displaystyle M}$ מודול מעל חוג נתון ${\displaystyle R}$. נסמן ב-${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ את חוג האנדומורפיזמים של ${\displaystyle M}$, היינו

${\displaystyle \operatorname {End} (M)=\{\phi :M\to M:\phi (rm)=r\phi (m);\phi (m+n)=\phi (m)+\phi (n)\}}$.

זהו חוג עם פעולות החיבור וההרכבה.

הלמה של שור קובעת כי אם ${\displaystyle M}$ מודול פשוט (כלומר, אין לו תתי מודולים פרט לטריוויאליים), אז ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ הוא חוג עם חילוק - כל איבר בו הוא הפיך.

הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון. למשל, המודול ${\displaystyle \ \mathbb {Q} }$ מעל ${\displaystyle \ \mathbb {Z} }$ אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו איזומורפי לשדה ${\displaystyle \ \mathbb {Q} }$.

הוכחה

יהי ${\displaystyle 0\neq \phi \in \operatorname {End} (M)}$. אזי הגרעין ${\displaystyle \ker \phi }$ הוא תת-מודול של ${\displaystyle M}$, ומכך ש-${\displaystyle \phi \neq 0}$ נקבל בהכרח ${\displaystyle \ker \phi =0}$, כלומר ${\displaystyle \phi }$ חד-חד-ערכית.

בדומה, התמונה ${\displaystyle \operatorname {Im} (\phi )}$ היא תת-מודול של ${\displaystyle M}$, ומכך ש-${\displaystyle \phi \neq 0}$ נקבל בהכרח ${\displaystyle \operatorname {Im} (M)=M}$, כלומר ${\displaystyle \phi }$ גם על, ולכן הפיכה.

יישומים

יישום נפוץ עבור הלמה של שור הוא בהוכחת משפט ודרברן-ארטין, הקובע כי חוג פרימיטיבי ארטיני איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק. לפי ההנחה, מעל החוג קיים מודול פשוט ונאמן, ולכן לפי הלמה של שור חוג האנדומורפיזמים מעליו הוא חוג עם חילוק. כדי להשלים את ההוכחה יש להשתמש במשפט הצפיפות של ג'ייקובסון.

בפיזיקה, מן הלמה של שור משתמע כי המצבים העצמיים של מערכת פיזיקלית בעלת סימטריה שייכים להצגות אי פריקות של חבורת הסימטריה, והערכים העצמיים מנוונים בהתאם לגודל ההצגות.

קישורים חיצוניים

• הלמה של שור, באתר MathWorld (באנגלית)