מכפלה טנזורית

במתמטיקה, מכפלה טנזורית היא בנייה מתמטית המקבלת שני מבנים אלגבריים ובסיס משותף, ומחזירה מבנה אחר, הנוצר משניהם בסיועו של הבסיס. המכפלה הטנזורית אנלוגית למושג הכפל, בדומה לסכום הישר שהוא אנלוגי למושג החיבור. לדוגמה, המכפלה הטנזורית של שני מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה, היא מרחב וקטורי שממדו שווה למכפלת הממדים של שני המרכיבים. המכפלה של המבנים ${\displaystyle M}$ ו-${\displaystyle N}$ מעל ${\displaystyle R}$ מסומנת ב-${\displaystyle M\otimes _{R}N}$.

המכפלה הטנזורית נחקרת באופן מקיף במסגרת האלגברה ההומולוגית. בתחומים אחרים של המתמטיקה, היא מופיעה בדרך כלל בשתי צורות:

1. "הרחבה של הסקלרים". למשל, אם ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי מעל הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$, אז ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ הוא מרחב וקטורי בעל אותו ממד מעל המרוכבים, הגדול יותר.
2. הכפלת שני מבנים מטיפוס מסוים עשויה לתת מבנה שלישי מאותו טיפוס, וכך להגדיר מבנה של מונואיד על אוסף המבנים מאותו טיפוס. כך למשל, המכפלה הטנזורית של שתי חבורות אבליות (מעל השלמים) היא חבורה אבלית. דוגמה בולטת לתהליך זה אפשר לראות בהגדרת חבורת בראואר.

התכונה החשובה ביותר של המכפלה הטנזורית היא ה"אוניברסליות", שמשמעותה כזו: המכפלה הטנזורית של שני מודולים היא המודול הגדול ביותר שאותו אפשר לכסות בהעתקה מאוזנת על ידי המכפלה הישרה של שני המודולים. תכונה זו ניתנת לניסוח באופן קטגורי, וכך אפשר בדרך כלל לחסוך את העיסוק בפרטים הטכניים של הבניה המפורשת.

למכפלה טנזורית של מטריצות קשר הדוק עם המכפלה הטנזורית של מרחבים וקטוריים בגודל המתאים.

מכפלה טנזורית של מודולים

בניה מפורשת

את המכפלה הטנזורית של המודולים ${\displaystyle M}$ ו-${\displaystyle N}$ מעל ${\displaystyle R}$ אפשר להגדיר על-פי יוצרים ויחסים. זוהי החבורה האבלית הנוצרת על ידי כל הסימנים ${\displaystyle m\otimes n}$ (עבור ${\displaystyle m\in M,n\in N}$), בכפוף ליחסים הבאים:

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})\otimes n=m_{1}\otimes n+m_{2}\otimes n}$,

${\displaystyle m\otimes (n_{1}+n_{2})=m\otimes n_{1}+m\otimes n_{2}}$,

${\displaystyle (mr)\otimes n=m\otimes (rn)}$ (לכל ${\displaystyle r\in R}$).

אבר מהצורה ${\displaystyle m\otimes n}$ נקרא טנזור פשוט. כל אבר של המכפלה הטנזורית הוא סכום של טנזורים פשוטים. כך כמובן גם במכפלה טנזורית של מודולים רבים, ${\displaystyle M_{1}\otimes \cdots \otimes M_{t}}$. המספר הקטן ביותר של טנזורים פשוטים הנחוץ להצגת איבר נתון הוא הדרגה של האיבר; הגדרה זו (עבור ${\displaystyle t=2}$ וכאשר ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ הם מרחבים וקטוריים) מכלילה את מושג הדרגה של מטריצה.

מבנים אלגבריים עשירים יותר

המכפלה הטנזורית מוגדרת עבור מודול ימני ${\displaystyle M}$ ומודול שמאלי ${\displaystyle N}$ מעל אותו חוג ${\displaystyle R}$. תוצאתה ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ היא במקרה זה חבורה אבלית. ככל שהמבנה של ${\displaystyle M}$ ושל ${\displaystyle N}$ עשיר יותר, כך נעשה גם המבנה של המכפלה עשיר יותר. לדוגמה, אם ${\displaystyle M}$ הוא (בנוסף להיותו מודול ימני מעל ${\displaystyle R}$) גם מודול שמאלי מעל חוג ${\displaystyle S}$ (וליתר דיוק, בי-מודול מעל שני החוגים), הופכת המכפלה הטנזורית גם היא למודול שמאלי מעל ${\displaystyle S}$ על ידי הגדרת הכפל ${\displaystyle s(m\otimes n)=(sm)\otimes n}$. בדומה, אם ${\displaystyle N}$ הוא גם מודול ימני מעל חוג ${\displaystyle T}$, המכפלה הטנזורית היא מודול ימני מעל ${\displaystyle T}$. מקרה בעל חשיבות מיוחדת הוא כאשר החוג ${\displaystyle R}$ קומוטטיבי - אז מהווה כל מודול באופן מיידי בי-מודול, וכך המכפלה הטנזורית של שני מודולים מעל לחוג קומוטטיבי נעשית למודול מעל אותו החוג.

כאשר מרכיבי המכפלה הם אלגברות, אפשר גם להגדיר פעולת כפל על המכפלה הטנזורית לפי ${\displaystyle (m\otimes n)(m'\otimes n')=mm'\otimes nn'}$, וכך הופכת מכפלת המבנים לאלגברה בזכות עצמה. המכפלה הטנזורית של שדות איננה באופן כללי שדה, אם כי היא כמובן אלגברה.

אוניברסליות

העתקה מאוזנת מן המכפלה הישרה ${\displaystyle M\times N}$ היא העתקה ביליניארית, המעתיקה את הזוגות ${\displaystyle (mr,n)}$ ו-${\displaystyle (m,rn)}$ (עבור ${\displaystyle m\in M,n\in N,r\in R}$) לאותו המקום.

תכונת האוניברסליות כוללת את המכפלה ${\displaystyle M\otimes N}$ יחד עם ההטלה ${\displaystyle \pi :M\times N\rightarrow M\otimes N}$ המוגדרת לפי ${\displaystyle \pi (m,n)=m\otimes n}$, ופירושה כזה: כל העתקה מאוזנת ${\displaystyle f}$ מן המכפלה הישרה ${\displaystyle M\times N}$ אל חבורה אבלית כלשהי ${\displaystyle Q}$, אפשר לפצל באופן יחיד דרך המכפלה הטנזורית (כלומר, קיימת העתקה אחת ויחידה ${\displaystyle f_{1}}$ מן המכפלה הטנזורית ל-${\displaystyle Q}$, כך שבמקום להעתיק את הזוג ${\displaystyle (m,n)}$ לתעודתו, די להעתיק אותו באמצעות ${\displaystyle \pi }$ אל האיבר ${\displaystyle m\otimes n}$, ומשם אל אותו איבר של ${\displaystyle Q}$; במילים אחרות ${\displaystyle f=f_{1}\circ \pi }$).

המכפלה הטנזורית שנבנתה בסעיף הקודם היא אכן אוניברסלית, ועובדה זו טעונה הוכחה (שאינה קשה במיוחד). עם זאת, מרגע שהוברר קיומו של אובייקט אוניברסלי שכזה, ההוכחה שהוא יחיד (עד כדי איזומורפיזם) קלה ביותר: אם ${\displaystyle P,P'}$ שניהם אובייקטים אוניברסליים (עם ההטלות ${\displaystyle \pi :M\times N\rightarrow P,\pi ':M\times N\rightarrow P'}$), אז ההטלה ל-${\displaystyle P'}$ מתפצלת באופן יחיד דרך ${\displaystyle P}$, וההטלה ל-${\displaystyle P}$ מתפצלת באופן יחיד דרך ${\displaystyle P'}$. הרכבת ההעתקות, מ-${\displaystyle P}$ ל-${\displaystyle P'}$ ואז בחזרה ל-${\displaystyle P}$, נותנת העתקה מ-${\displaystyle P}$ לעצמו, המפצלת את ${\displaystyle \pi }$ דרך ${\displaystyle P}$ - בדיוק כדרך שהעתקת הזהות מפצלת את ${\displaystyle \pi }$ דרך ${\displaystyle P}$. אלא שהפיצול הוא יחיד על-פי ההנחה, וכך ההרכבה שווה להעתקת הזהות. גם ההרכבה בסדר ההפוך שווה לזהות, ומכאן ש-${\displaystyle P,P'}$ איזומורפיים.

העובדה שמודול שמקיים את תכונת האוניברסליות נקבע עד כדי איזומורפיזם מאפשרת להגדיר את המכפלה הטנזורית באופן קטגורי. מודול ${\displaystyle L}$, יחד עם העתקה מאוזנת של המכפלה הישרה של ${\displaystyle M}$ ו-${\displaystyle N}$ נקרא המכפלה הטנזורית אם הוא מקיים את התכונה האוניברסלית. הגדרה זו היא מקרה פרטי של הגדרת מכפלת סיבים בקטגוריה כללית. יש לציין שבקטגוריה כללית מכפלה טנזורית (או מכפלת סיבים) תהיה יחידה עד כדי איזומורפיזם, אבל לא תמיד היא תהיה קיימת. לדוגמה, בקטגוריית השדות לא לכל שני איברים יש מכפלה טנזורית.

תכונות

כפי שהוזכר בחטף לעיל, המכפלה הטנזורית מגדירה מבנה של מונויד חילופי על אוסף הבי-מודולים מעל חוג נתון. ביתר פירוט, נניח ש-${\displaystyle R}$ הוא חוג כלשהו.

1. ${\displaystyle R}$ משמש איבר נייטרלי ביחס למכפלה הטנזורית: לכל מודול ${\displaystyle M}$ מעל ${\displaystyle R}$, מתקיים ${\displaystyle M\otimes _{R}R\cong M}$.
2. המכפלה קומוטטיבית: ${\displaystyle M\otimes _{R}N\cong N\otimes _{R}M}$.
3. המכפלה אסוציאטיבית: ${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}L\cong M\otimes _{R}(N\otimes _{R}L)}$.

בנוסף לתכונות אלה, המכפלה הטנזורית דיסטריבוטיבית ביחס לסכום הישר (${\displaystyle (M\oplus M')\otimes _{R}N\cong M\otimes _{R}N\oplus M'\otimes _{R}N}$), וכך הופך אוסף הבי-מודולים מעל ${\displaystyle R}$ לחצי חוג קומוטטיבי ביחס לפעולות הסכום הישר והמכפלה הטנזורית.

מתכונות אלה נובע למשל שמודולים חופשיים מקיימים ${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}R^{m}\cong R^{nm}}$, כהכללה של המצב במרחבים וקטוריים.

תכונה חשובה נוספת של המכפלה הטנזורית היא שאם קובעים מודול ימני ${\displaystyle M}$, אז הפונקטור ${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ הוא פונקטור מדויק מימין.

דוגמאות

כפי שהוצע קודם לכן, אם ${\displaystyle R\subseteq S}$ הם חוגים, ו-${\displaystyle M}$ מודול מעל ${\displaystyle R}$, אז ${\displaystyle M\otimes _{R}S}$ הוא מודול בעל מבנה דומה מעל ${\displaystyle S}$. למשל, חוג המטריצות מקיים ${\displaystyle M_{n}(R)\otimes _{R}S\cong M_{n}(S)}$, וחוג הפולינומים ${\displaystyle R[x]\otimes _{R}S\cong S[x]}$.

שינוי חוג הסקלרים אינו חייב להגדיל את האלגברה. לדוגמה, אם ${\displaystyle I}$ הוא אידיאל של ${\displaystyle R}$, אז ${\displaystyle M\otimes _{R}(R/I)\cong M/IM}$, מודול המנה ביחס ל-${\displaystyle I}$. דוגמה חשובה אחרת היא המקרה שבו ${\displaystyle R}$ הוא חוג השלמים ו-${\displaystyle S}$ שדה הרציונליים. במקרה זה, ${\displaystyle M}$ היא חבורה אבלית. אם ${\displaystyle M}$ נוצרת סופית, אפשר לפרק אותה לסכום ישר של מרכיב מפותל ומרכיב חופשי. המכפלה הטנזורית ${\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ תלויה רק בגודל המרכיב החופשי, ובכך מאבדת את כל המידע על החלק המפותל.

המכפלה הטנזורית של שדות, מעל תת-שדה משותף, אינה בהכרח שדה. למעשה, אם ${\displaystyle K=F[x]/\langle p(x)\rangle }$, אז לכל הרחבת שדות ${\displaystyle L/F}$ מתקיים ${\displaystyle L\otimes _{F}K=L[x]/\langle p(x)\rangle }$, חוג שהמבנה שלו תלוי בפירוק של ${\displaystyle p}$ מעל ${\displaystyle L}$. אם ההרחבה ${\displaystyle B}$ רגולרית (כלומר, אם ${\displaystyle F}$ סגור אלגברית ב-${\displaystyle K}$), אז ${\displaystyle L\otimes _{F}K}$ שדה לכל הרחבה סופית ${\displaystyle L/F}$.

הכללות למבנים אחרים

• אם ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ מרחבי מכפלה פנימית, אז המכפלה הטנזורית מצוידת באופן טבעי במכפלה פנימית משלה: ${\displaystyle \left\langle a_{1}\otimes b_{1}|a_{2}\otimes b_{2}\right\rangle _{A\otimes B}\equiv \left\langle a_{1}|a_{2}\right\rangle _{A}\left\langle b_{1}|b_{2}\right\rangle _{B}}$.
• אם ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ הם מרחבי הילברט, מרחב המכפלה הפנימית שהוגדר בדוגמה הקודמת איננו בדרך כלל שלם. במקרה זה מגדירים את המכפלה הטנזורית להיות ההשלמה של מרחב המכפלה הפנימית. המכפלה הטנזורית שהוגדרה כך מקיימת את תכונת האוניברסליות.
• עבור מרחבים נורמיים ובפרט מרחבי בנך, אין נורמה טבעית אחת על המכפלה הטנזורית של המרחבים הווקטורים. עם זאת, אפשר להגדיר משפחה של נורמות אפשריות (הנקראות נורמות מוצלבות). במשפחה זו יש נורמה גדולה ביותר ויש נורמה קטנה ביותר. ההשלמות של המכפלה הטנזורית תחת הנורמות הללו מסומנות ב-${\displaystyle M{}_{\;\vee }^{\bigotimes }N}$ וב-${\displaystyle M{\widehat {\otimes }}N}$.

ראו גם

• מכפלה קרטזית
• סכום ישר
• סימון דיראק, ובייחוד הפרק על מרחבי מכפלה.
• מודול שטוח

קישורים חיצוניים

• מכפלה טנזורית, באתר MathWorld (באנגלית)