מרחב נורמי

מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה. הנורמה היא פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה מספר ממשי, ומצייתת לשלוש אקסיומות: היא חיובית ומתאפסת רק באפס; היא הומוגנית; והיא מקיימת את אי-שוויון המשולש.

מרחב נורמי שהוא מרחב שלם מכונה "מרחב בנך". כל מרחב נורמי ניתן לשיכון צפוף בתוך מרחב בנך.

כל מרחב מכפלה פנימית הוא נורמי, על ידי הנורמה המושרית ${\displaystyle \ \|\mathbf {v} \|={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}}$.

נורמה על מרחב מגדירה מטריקה באופן הבא: ${\displaystyle d(\mathbf {x,y} )=\|\mathbf {x-y} \|}$. מטריקה זאת בתורה מגדירה טופולוגיה על המרחב - הטופולוגיה הנוצרת על ידי הכדורים הפתוחים במטריקה. לכן רואים במרחב נורמי מקרה פרטי של מרחב וקטורי טופולוגי.

שקילות של נורמות

שתי נורמות על אותו מרחב הן שקולות אם קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים ${\displaystyle c,C}$, כך שלכל ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ מתקיים ${\displaystyle c\|\mathbf {v} \|_{1}\leq \|\mathbf {v} \|_{2}\leq C\|\mathbf {v} \|_{1}}$. במקרה זה הנורמות משרות את אותה טופולוגיה.

במרחב נורמי בעל ממד סופי כל הנורמות שקולות זו לזו.

קישורים חיצוניים

• מרחב נורמי, באתר MathWorld (באנגלית)
• Equivalence of Norms in Finite Dimension, Colorado State University

עץ מיון של מרחבים וקטוריים טופולוגיים

מרחב וקטורי טופולוגי מרחב וקטורי טופולוגי       מקרא:   מחלקה של מרחבים וקטוריים טופולוגיים (מעל ${\displaystyle \mathbb {R} }$).[1]   דוגמה או קבוצת דוגמאות למרחבים וקטוריים טופולוגיים.[2]   מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה.   חלק במסלול שרלוונטי רק לדוגמאות. ${\displaystyle \cap }$ מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.                             מרחב האוסדורף מרחב האוסדורף                         מרחב מטריזבילי מרחב מטריזבילי   מרחב שלם מרחב שלם   מרחב קמור מקומית מרחב קמור מקומית                                                           מרחב-F מרחב-F ${\displaystyle \cap \,}$                                                                        מרחב פרשה מרחב פרשה ${\displaystyle \cap \,}$   מרחב דואלי לפרשה מרחב דואלי לפרשה   מרחב גרעיני מרחב גרעיני                             ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$       מרחב נורמי מרחב נורמי                               מרחב בנך מרחב בנך ${\displaystyle \cap \,}$   ${\displaystyle C^{-\infty }(S^{1})}$ ${\displaystyle C^{-\infty }(S^{1})}$     ${\displaystyle L_{loc}^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L_{loc}^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$                         ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$       מרחב מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית                         מרחב הילברט מרחב הילברט ${\displaystyle \cap \,}$   ${\displaystyle C^{-\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{-\infty }(\mathbb {R} )}$   ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C(S^{1})}$ ${\displaystyle C(S^{1})}$       ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} );p>1}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} );p>1}$                     מרחב (ממשי) ממד סופי - ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ מרחב (ממשי) ממד סופי - ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \cap \,}$   ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$   שמות התואר "וקטורי", "טופולוגי" ו"ממשי" מושמטים בדרך כלל משם המחלקה. במרחבי הפונקציות בדוגמאות, ניתן להחליף את ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ביריעה חלקה כלשהי ואת מעגל היחידה ${\displaystyle S^{1}}$ ביריעה חלקה קומפקטית כלשהי.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.