מנג'ול בהרגבה, Ali Rajaei, Mirela Ciperiani, James Alexander Parson, Arash Rastegar, Michael Volpato, Robert William Harron, Andrew W. Snowden, Andrei Jorza, Stefan Patrikis, Ravi Kumar Ramakrishna, Luis Manuel Navas, Karl Rubin, Fred Irvin Diamond, Brian Conrad, Kartik Aragam Prasanna, ריצ'רד טיילור, Christopher Skinner, אהוד דה-שליט, Ritabrata Munshi, Vinayak Vatsal
גם לאחר שפתר בעיה שנחשבה לאתגר הגדול של תורת המספרים, המשיך ויילס לחקור בתחום, והוא נחשב למומחה מוביל בעקומים אליפטיים בכלל ובהשערת בירץ' וסווינרטון-דייר בפרט. בשנת 1999 חנך את "מרכז ויילס לטכנולוגיה" בבית הספר היוקרתי קינגס קולג' שבאנגליה.
עניין במתמטיקה מגיל צעיר
ויילס גדל בעיר קיימברידג' שבאנגליה. מילדותו אהב לפתור את הבעיות המתמטיות שפגש בבית הספר, וחיבר כמה בעיות משלו. המשפט האחרון של פרמה לכד את תשומת לבו, מפני שזוהי בעיה שקל להציג ולהבין, ובכל זאת היא עמדה בפני ניסיונות ההוכחה של המתמטיקאים במשך מאות שנים. כאשר ויילס היה בן 10, הוא מצא בספרייה העירונית את הספר "הבעיה האחרונה" שכתב אריק טמפל בל על המשפט, וניסה לפתור את הבעיה בעצמו, בחושבו שאולי יצליח לגלות משהו שנעלם מעיני אחרים. הוא למד שיטות שונות שפותחו כדי להתמודד עם הבעיה, אבל החליט שהן אינן מספיקות. כשסיים את לימודי התואר הראשון עזב את הבעיה, ועבר לעבוד תחת הנחייתו של קוטס.
עקומים אליפטיים, תבניות מודולריות והמשפט האחרון של פרמה
במהלך שנת 1984 גרהרד פריי הציע טענה שאם מישהו יצליח להוכיח את השערת טניימה-שימורה הוא גם יוכיח את המשפט האחרון של פרמה. אך בטענה זו היה פגם שמנע את אימותה שלה. את הטענה הזו הוכיח ותיקן קן ריבט ב-1986, הראתה שממשפט טניאמה-שימורה, אפילו אם הוא נכון רק במקרה ה"יציב למחצה", נובע המשפט האחרון של פרמה. עבודתו זו של ריבט הביאה את ויילס להפנות את עיקר מרצו להוכחת ההשערה של טניאמה ושימורה, מאחר שכעת היה ברור שהוכחה כזו תפתור גם את האתגר מן המאה ה-17, המשפט האחרון של פרמה.
חוקרים רבים סברו שאין כל דרך לתקוף את השערת טניאמה-שימורה, הקובעת כאמור שכל עקום אליפטי רציונלי הוא מודולרי, מפני שאפילו לא היה ידוע אם לשני המבנים יש אותו מספר של פונקציות L. ריבט סובר שאפשר לייחס את הצלחתו של ויילס בפתרון השערת טניאמה-שימורה לכך שהייתה לו התעוזה לתקוף את ההשערה למרות קשיים אלה. אף על פי שוויילס הסתפק, בתחילה, בפתרון המקרה היציב למחצה, התברר שמקרה זה אינו קל בהרבה מן ההשערה המלאה.
בתחילת עבודתו של ויילס על השערת טניאמה-שימורה, הוא נהג להזכיר את הבעיה של פרמה בפני עמיתיו, אבל העניין שאזכורים כאלה עוררו הרתיע אותו. הוא רצה להתרכז בבעיה, וביקש לעבוד לבדו (סיימון סינג משער שרצונו של ויילס לסיים את ההוכחה בכוחות עצמו, תרם לבידוד מרצון). במשך אותן שנים, ויילס המשיך לעבוד בפרינסטון. הוא כתב מאמרים על נושאים רחוקים מהשערת טניאמה-שימורה, המשיך להיות נוכח בסמינרים, להרצות ולהנחות סטודנטים.
ההשערה של טניאמה-שימורה היא, בסופו של דבר, בעיה של ספירת הנקודות שיש לעקום אליפטי כאשר מצמצמים אותו לשדה סופי. לשם כך, חקר ויילס הצגות גלואה (שהן הצגות של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונליים) המתקבלות מן העקום האליפטי, תבניות מודולריות, וערכים מיוחדים של פונקציות L המתאימות.
הצהרה על ההוכחה
ביוני 1993 העביר ויילס סדרה בת שלוש הרצאות תחת הכותרת "תבניות מודולריות, עקומים אליפטיים והצגות גלואה" במכון אייזק ניוטון בקיימברידג', במסגרת כנס על פונקציות L ואריתמטיקה. המארגנים הקצו לו בתחילה רק יומיים, אבל ג'ון קוטס ויתר על זמן ההרצאה שלו כדי לאפשר לו לסיים את הנושא.
לאחר ההרצאות אמר בארי מזור שלמרות הרעיונות המבריקים הרבים בסדרה, המתח נשמר עד לסוף ההרצאה האחרונה.
המאמר של ויילס
את המאמר שכתב על ההוכחה של המקרה היציב-למחצה של השערת טניאמה-שימורה (שממנו, כאמור, נובע המשפט האחרון של פרמה), הגיש ויילס לכתב העת החשוב Inventiones Mathematicae, ובארי מזור, אחד העורכים, הרכיב צוות של שישה אנשים לצורך ביקורת עמיתים למאמר. בצוות כלל מזור את קן ריבט, ניק כץ וריצ'רד טיילור. בגרסה הראשונה, ההוכחה נצרכה לבניה של "מערכת אוילר", שהצוות מצא בה פגם מהותי. בעבודתו ווילס החליט, שהוא ישתמש בשיטת הוכחה בה מוכיחים מקרה אחד. לאחר מכן מוכיחים שמפני שמקרה א' נכון, גם מקרה ב' מוכרח להיות נכון, וכן הלאה. בדיוק כמו דומינו עד אינסוף. כדי להוכיח שמקרה א' משליך על מקרה ב' הסתמך ויילס על שיטה ששמה: "שיטת קליווגין-פלאך". הפגם היה, שלא הייתה ערובה לכך ששיטה זו אכן תעבוד כמו שוויילס תכנן ותיצור את אפקט הדומינו הרצוי. במקור שיטה זו עבדה רק בנסיבות מסוימות. ויילס האמין, שהוא חיזק אותה מספיק כדי שהיא תעבוד במקום שהוא נזקק לה. אך בפועל המצב לא היה כזה והתוצאות היו הרסניות. אף על פי שמאמריו של ווילס סיפקו חידושים ותגליות רבות, ללא החלק הזה בהוכחה כל ההוכחה להשערת טניאמה- שימורה נפלה ואיתה ההוכחה למשפט האחרון של פרמה. במשך שנה חשב ויילס שלמרות העבודה הרבה והתוצאות החשובות שהשיג, לא ניתן לגשר על הפער ולהגיע אל המטרה הנכספת. לפני שנכנע, הוא החליט לנסות ניסיון אחרון, בעזרת ריצ'רד טיילור, שכתב את עבודת הדוקטורט שלו בהנחיית ויילס ב-1988. זמן מועט לפני המועד בו ווילס החליט לנטוש את עבודתו התחוור לו ששיטת קליווגין-פלאך יכולה לגרום ל"תאוריית איווסווה" אותה ניסה שלוש שנים קודם לכן, לעבוד. השילוב בין שתי השיטות היה כל מה שוויילס נזקק לו כדי למצוא את התשובה האמיתית. הגרסה הסופית של ההוכחה של ויילס, השונה מן הגרסה המקורית, פורסמה בגיליון 141 של ה-Annals of Mathematics בשנת 1995, יחד עם מאמר תומך שכתבו ויילס וטיילור במשותף, ונקראה "תכונות בתורת החוגים של אלגברות הקה מסוימות".
ההוכחה המלאה של השערת טניאמה-שימורה
לאחר שההתפעלות מן ההישג שבהוכחת משפט פרמה שככה, העבודה הוצגה בתור צעד חשוב לקראת מטרה חשובה אף יותר - השערת טניאמה-שימורה המלאה, העומדת במרכז התורה האריתמטית של עקומים אליפטיים. למרבה ההפתעה, מטרה זו הושגה בתוך זמן קצר יחסית, בשנת 1999, כאשר טיילור נעזר ברעיונות של ויילס כדי לפתור את השערת ארטין עבור הצגות גלואה שבהן המסלול של הנקודה 1/2 תחת פעולת חבורת המטריצות מתאים לחבורת התמורות הזוגיות[1].
