Serie (matemáticas)

Esta article é sobre sumas infinitas. Para sumas finitas, véxase Sumatorio.

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha sucesión. Represéntase unha serie con termos ${\displaystyle a_{n}}$ como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{n}}$

A diferenza das sumas finitas, as series requiren ferramentas da análise matemática para ser entendidas e manipuladas correctamente. O estudo das series consiste en avaliar a suma dun número finito ${\displaystyle N}$ de termos sucesivos, e mediante un paso ata o límite, identificar o comportamento da serie cando ${\displaystyle N}$ medra indefinidamente (cando ${\displaystyle N}$ tende a infinito):

${\displaystyle S=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}.}$

As series poden converxer ou diverxer. Se o límite existe, sendo distinto de infinito (positivo ou negativo), a serie converxe e no caso contrario a serie diverxe. Ver abaixo criterios de converxencia.

Algúns tipos de series

• Unha serie xeométrica é unha serie onde cada sucesivo termo está producido multiplicando o termo previo por unha constante. Exemplo:

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.}$

En xeral, as series xeométricas

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$

converxen se e soamente se |z| < 1.

• Unha serie harmónica é do tipo

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$

• Unha serie alternada é unha serie onde os termos alternan o signo. Exemplo:

${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.}$

Criterios de converxencia

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe (${\displaystyle \pm \infty }$ ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ é converxente, entón ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0}$.

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}\neq 0}$ entón ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ é diverxente.

Tres exemplos famosos

• Serie harmónica, ${\displaystyle S={\dfrac {1}{1}}+{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{3}}\cdots }$, diverxe (tende lentamente a infinito).
• Serie da función zeta de Riemann para o parámetro 2 (problema de Basilea), ${\displaystyle S=\zeta (2)={\dfrac {1}{1^{2}}}+{\dfrac {1}{2^{2}}}+{\dfrac {1}{3^{2}}}\cdots }$, converxe a ${\displaystyle {\dfrac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934}$ (secuencia A013661 na OEIS).
• Serie alternada ${\displaystyle S=1-1+1-1+1\cdots }$, diverxe (tende a 1? tende a 0? tende a 1/2?).

Criterio de D'Alembert

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos).

Se existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=l}$

con ${\displaystyle l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]}$, o Criterio de D'Alembert establece que:

• se l < 1, a serie converxe.
• se l > 1, a serie diverxe.
• se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\sqrt[{k}]{a_{k}}}=l}$, sendo ${\displaystyle l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]}$

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluír nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluír algo.

Criterio de Raabe

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocorrer que o límite que nos de ${\displaystyle a_{k}}$, sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocorre, recorremos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recorrer a el cando o límite de ${\displaystyle a_{k}}$ que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }k\left(1-{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right)}$, sendo ${\displaystyle l\,\varepsilon \,(-\infty ,+\infty )}$

Polo tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia

Converxencia absoluta

Unha serie ${\displaystyle \sum a_{n}}$ converxe absolutamente se

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|{a_{n}}|}$

é converxente, isto é, se a suma dos seus valores absolutos converxe.

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---