Principio de Hasse

En matemáticas, o principio local-global de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha solución en enteiros dunha ecuación utilizando o teorema chinés dos restos para unir solucións módulo potencias de cada número primo diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos números racionais: os números reais e os números p-ádicos.

Intuición

Dado un polinomio con coeficientes racionais, se ten unha solución racional, daquela tamén produce unha solución real e unha solución p-ádica, xa que os racionais incorporan os reais e os p-ádicos: unha solución global produce solucións locais para cada primo. O principio de Hasse cuestiona cando se pode facer o contrario, ou visto desde outro punto de vista, cal é a obstrución, cando se poden unir solucións sobre os reais e os p-ádicos para producir unha solución sobre os racionais? cando se poden unir solucións locais para formar unha solución global?

Un pode cuestionarse este punto tamén para outros anéis ou corpos: enteiros ou corpos de números alxébrico. Para corpos de números alxébricos úsanse mergullos (embeddings) complexos e ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-ádicos para ideais primos ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Exemplo

Consideramos o polinomio ${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x+17}$. Para determinar se ten solucións enteiras traballamos en módulo 5 e obtemos

${\displaystyle {\overline {f}}(x)=x^{3}+3x+2}$ e comprobamos que non ten solucións en ${\displaystyle \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$ (fácil pois só temos que comprobar 5 valores. Como non temos solucións localmente en ${\displaystyle \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$ daquela non temos solucións globalmente en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.^[1]

Nota: A implicación no outro sentido non ten por qué ser certa, a existencia dunha solución local non implica necesariamente solución global.

As formas que representan cero

Formas cadráticas

O teorema de Hasse–Minkowski declara que o principio local-global cúmprese para o problema da representación do 0 por formas cadráticas sobre os números racionais (este é o resultado de Minkowski); e máis xeralmente sobre calquera corpo numérico (camo probou Hasse), cando un utiliza todas as condicións necesarias apropiadas do corpo local. O teorema de Hasse en extensións cíclicas afirma que o principio local-global aplica á condición de ser unha norma relativa para unha extensión cíclica dos corpos de números alxébricos.

Formas cúbicas

Un contraexemplo de Ernst S. Selmer mostra que o teorema de Hasse–Minkowski non pode ser estendido a formas de grao 3. A ecuación cúbica 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0 ten unha solución en números reais, e en tódolos corpos p-ádicos, mais non ten solución non trivial na que x, y, e z son tódolos números racionais.^[2]

Roger Heath-Marrón mostrou ^[3] que toda forma cúbica sobre os enteiros en polo menos 14 variábeis representa 0, mellorando os resultados anteriores de Davenport.^[4] Xa que cada forma cúbica sobre os números p-ádicos con polo menos dez variábeis representa 0, o principio local-global cúmprese para formas cúbicas sobre os racionais en polo menos 14 variábeis.^[3]

Segundo unha idea de Manin, as obstrucións ao principio de Hasse que se cumpren para formas cúbicas pode relacionarse coa teoría do grupo de Brauer; isto é a obstrución de Brauer–Manin, que explica completamente o fracaso do principio de Hasse para algunhas clases de variedades. No entanto, Skorobogatov demostrou que a obstrución de Brauer-Manin non pode explicar tódolos fallos do principio de Hasse.^[5]

Formas de grao máis alto

Os contraexemplos de Fujiwara e Sudo mostran que o teorema de Hasse–Minkowski non é extensíbel a formas de grao ${\displaystyle 10n+5}$, onde n é un enteiro non negativo.^[6]

Doutra banda, o teorema de Birch mostra que se d é calquera número natural impar, daquela hai un número N(d) tal que calquera forma de grao d en máis de N(d) variábeis representa 0, e o principio de Hasse cúmprese trivialmente.

Teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether

O Teorema_de_Albert-Brauer-Hasse-Noether estabelece un principio local-global local para a descomposición dunha álxebra simple central A sobre un corpo numérico alxébrico K. O teorema di que se A descompón sobre cada completamento K_v entón é isomórfica a unha álxebra de matrices sobre K.

Principio de Hasse Principio para grupos alxébricos

O principio de Hasse principio para grupos alxébricos afirma que se G é un grupo alxébrico sinxelamente-conectado definido sobre o corpo global k daquela o mapa

${\displaystyle H^{1}(k,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)}$

é inxectivo, onde o produto é sobre todos os lugares s of k.

O principio de Hasse para grupos ortogonais está estreitamente relacionado co principio de Hasse para as formas cadráticas correspondentes.

Kneser (1966) e varios outros verificaron o principio de Hasse con probas caso por caso para cada grupo. O último caso foi o grupo E₈, que só foi completado por Chernousov (1989) moitos anos despois dos outros casos.

O principio de Hasse para os grupos alxébricos usouse nas probas da conxectura de Weil para os números de Tamagawa e o teorema de aproximación forte.

Notas

1. Hatley, Jeffrey (2009). Hasse-Minkowski and the Local-to-Global Principle (PDF). p. 1. 
2. Ernst S. Selmer (1951). The Diophantine equation ax³ + by³ + cz³ = 0. Acta Mathematica 85. pp. 203–362. doi:10.1007/BF02395746. 
3. D.R. Heath-Brown (2007). "Cubic forms in 14 variables". Invent. Math. 170 (1): 199–230. Bibcode:2007InMat.170..199H. doi:10.1007/s00222-007-0062-1. 
4. H. Davenport (1963). "Cubic forms in sixteen variables". Proceedings of the Royal Society A 272 (1350): 285–303. Bibcode:1963RSPSA.272..285D. doi:10.1098/rspa.1963.0054. 
5. D. R. Heath-Brown (1983). "Cubic forms in ten variables". Proceedings of the London Mathematical Society 47 (2): 225–257. doi:10.1112/plms/s3-47.2.225. 
6. M. Fujiwara; M. Sudo (1976). "Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails". Pacific Journal of Mathematics 67 (1): 161–169. doi:10.2140/pjm.1976.67.161. 

Véxase tamén

Bibliografía

• Chernousov, V. I. (1989). The Hasse principle for groups of type E8. Soviet Math. Dokl. 39. pp. 592–596. MR 1014762. 
• Kneser, Martin (1966). "Hasse principle for H¹ of simply connected groups". Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965). Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 159–163. MR 0220736. 
• Serge Lang (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag. pp. 250–258. ISBN 3-540-61223-8. 
• Alexei Skorobogatov (2001). Torsors and rational points. Cambridge Tracts in Mathematics 144. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 1–7,112. ISBN 0-521-80237-7. 

Outros artigos

• Análise local
• Teorema de Grunwald–Wang
• Conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz

Outras ligazóns

• PlanetMath article Arquivado 2004-03-13 en Wayback Machine.
• Swinnerton-Dyer, Diophantine Equations: Progress and Problems, online notes
• J. Franklin, Global and local, Mathematical Intelligencer 36 (4) (Dec 2014), 4–9.