Lema de Hensel

En matemáticas, o lema de Hensel, tamén coñecido como lema de levantamento de Hensel, chamado así en honor de Kurt Hensel, é un resultado da aritmética modular, que indica que se un polinomio univariado ten unha raíz simple módulo un número primo p, entón esta raíz pode levantarse a unha única raíz módulo calquera potencia de p maior. De forma máis xeral, se un polinomio factoriza módulo p en dous polinomios coprimos, esta factorización pódese levantar a unha factorización módulo calquera potencia de p superior (o caso das raíces corresponde ao caso de grao 1 para un dos factores).

Ao pasar ao "límite" (de feito este é un límite inverso) cando a potencia de p tende ao infinito, dedúcese que unha raíz ou unha factorización módulo p pode levantarse a unha raíz ou unha factorización sobre os enteiros p-ádicos.

Estes resultados foron amplamente xeneralizados, baixo o mesmo nome, ao caso de polinomios sobre un anel conmutativo arbitrario, onde p é substituído por un ideal, e "polinomios coprimos" significa "polinomios que xeran un ideal que contén o 1".

O lema de Hensel é fundamental na análise p-ádica, unha rama da teoría analítica de números.

A demostración do lema de Hensel é construtiva, e leva a un algoritmo eficiente para o levantamento de Hensel, que é fundamental para factorizar polinomios, e dá o algoritmo máis eficiente coñecido para a álxebra linear exacta sobre os números racionais.

Redución e levantamento modulares

O lema orixinal de Hensel refírese á relación entre a factorización polinómica sobre os enteiros e sobre os enteiros módulo un número primo p e as súas potencias. Pódese estender directamente ao caso en que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo e p substitúese por calquera ideal máximal (de feito, os ideais maximais de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ teñen a forma ${\displaystyle p\mathbb {Z} ,}$ onde p é un número primo).

Facer isto de xeito preciso require unha xeneralización da aritmética modular habitual, polo que é útil definir con precisión a terminoloxía que se usa habitualmente neste contexto.

O proceso de levantamento é o inverso da redución. É dicir, dados os obxectos que dependen dos elementos de ${\displaystyle R/I,}$ o proceso de levantamento substitúe estes elementos por elementos de ${\displaystyle R}$ (ou de ${\displaystyle R/I^{k}}$ para algún k > 1) que mapea con eles de forma que manteña as propiedades dos obxectos.

Sexa R un anel conmutativo e I un ideal de R. A redución módulo I refírese á substitución de cada elemento de R pola súa imaxe baixo o mapa canónico ${\displaystyle R\to R/I.}$ Por exemplo, se ${\displaystyle f\in R[X]}$ é un polinomio con coeficientes en R, a súa redución módulo I, denotada como ${\displaystyle f{\bmod {I}},}$ é o polinomio en ${\displaystyle (R/I)[X]=R[X]/IR[X]}$ obtido substituíndo os coeficientes de f pola súa imaxe en ${\displaystyle R/I.}$ Dous polinomios f e g en ${\displaystyle R[X]}$ son congruentes módulo I, denotado como ${\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}}$ se teñen os mesmos coeficientes módulo I, é dicir se ${\displaystyle f-g\in IR[X].}$ Se ${\displaystyle h\in R[X],}$ unha factorización de h módulo I consiste en dous (ou máis) polinomios f, g en ${\displaystyle R[X]}$ tal que ${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}.}$

Por exemplo, dado un polinomio ${\displaystyle h\in R[X]}$ e un módulo de factorización I expresado como ${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}},}$ levantar esta factorización módulo ${\displaystyle I^{k}}$ consiste en procurar polinomios ${\displaystyle f',g'\in R[X]}$ tal que ${\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}},}$ ${\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}},}$ e ${\textstyle h\equiv f'g'{\pmod {I^{k}}}.}$ O lema de Hensel afirma que tal levantamento sempre é posíbel en condicións suaves; ver sección seguinte.

Enunciado

Orixinalmente, o lema de Hensel foi enunciado (e demostrado) para levantar unha factorización módulo un número primo p dun polinomio sobre os enteiros a unha factorización módulo calquera potencia de p e a unha factorización sobre os enteiros p-ádicos. Isto pódese xeneralizar facilmente, coa mesma proba, no caso de que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo, o número primo substitúese por un ideal máximal e os enteiros p-ádicos substitúense polo completamento con respecto ao ideal maximal. É esta xeneralización, que tamén é moi utilizada, a que aquí se presenta.

Sexa ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ un ideal máximal dun anel conmutativo R, e sexa

${\displaystyle h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}}$

un polinomio en ${\displaystyle R[X]}$ cun coeficiente principal ${\displaystyle \alpha _{0}}$ non en ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

Posto que ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ é un ideal maximal, o anel cociente ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ é un corpo, e ${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]}$ é un dominio de ideais principais (PID) e, en particular, un dominio de factorización única, o que significa que todo polinomio distinto de cero en ${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]}$ pódese factorizar dun xeito único como o produto dun elemento distinto de cero de ${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})}$ e polinomios irreducíbeis que son mónicos (é dicir, os seus coeficientes principais son 1).

O lema de Hensel afirma que toda factorización de h módulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ en polinomios coprimos pódese levantar dun xeito único a un módulo de factorización ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}}$ para todo k.

Máis precisamente, coas hipóteses anteriores, se ${\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}},}$ onde f e g son mónicos e coprimos módulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ entón, para cada número enteiro positivo k hai polinomios mónicos ${\displaystyle f_{k}}$ e ${\displaystyle g_{k}}$ tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}},\\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}},\\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}},\end{aligned}}}$

e ${\displaystyle f_{k}}$ e ${\displaystyle g_{k}}$ son únicos (con estas propiedades) módulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}.}$

Levantar raíces simples

Un caso especial importante é cando ${\displaystyle f=X-r.}$ Neste caso, a hipótese da coprimalidade significa que r é unha raíz simple de ${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}.}$ Isto dá o seguinte caso especial do lema de Hensel.

Coas hipóteses e notacións anteriores, se r é unha raíz simple de ${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}},}$ entón r pódese levantar dun xeito único a unha raíz simple de ${\displaystyle h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}}$ para cada número enteiro positivo n. Explicitamente, para cada enteiro positivo n, hai un único ${\displaystyle r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}}$ tal que ${\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}}$ e ${\displaystyle r_{n}}$ é unha raíz simple de ${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}.}$

Levantar ata o completamento ádico

O feito de que se poida levantar a ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}}$ para todo número enteiro positivo n suxire "pasar ao límite" cando n tende ao infinito. Esta foi unha das principais motivacións para introducir os enteiros p-ádicos.

Dado un ideal máximal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ dun anel conmutativo R, as potencias de ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ forman unha base de veciñanzas abertas para unha topoloxía en R, que se chama topoloxía m-ádica. O completamento desta topoloxía pódese identificar co completamento do anel local ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}},}$ e co límite inverso ${\displaystyle \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}.}$ Este completamento é un anel local completo, xeralmente denotado ${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}.}$ Cando R é o anel dos enteiros, e ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=p\mathbb {Z} ,}$ onde p é un número primo, este completamento é o anel dos enteiros p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

A definición do completamento como un límite inverso e a afirmación anterior do lema de Hensel implican que toda factorización en polinomios coprimos por pares módulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ dun polinomio ${\displaystyle h\in R[X]}$ pódese levantar de forma única a unha factorización da imaxe de h en ${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].}$ Do mesmo xeito, toda raíz simple de h módulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ pódese levantar a unha raíz simple da imaxe de h en ${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].}$

Proba

O lema de Hensel demóstrase xeralmente de forma incremental elevando unha factorización sobre ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}}$ a unha factorización sobre ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n+1}}$ (Levantamento linear), ou unha factorización sobre ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{2n}}$ (Levantamento cadrático).

O principal ingrediente da demostración é que os polinomios primos sobre un corpo satisfán a identidade de Bézout. É dicir, se f e g son polinomios univariados coprimos sobre un corpo (aquí ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$), hai polinomios a e b tal que ${\displaystyle \deg a<\deg g,}$ ${\displaystyle \deg b<\deg f,}$ e

${\displaystyle af+bg=1.}$

A identidade de Bézout permite definir polinomios coprimos e demostrar o lema de Hensel, aínda que o ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ non sexa maximal. Polo tanto, nas seguintes demostracións, pártese dun anel conmutativo R, un ideal I, un polinomio ${\displaystyle h\in R[X]}$ que ten un coeficiente principal que é invertíbel módulo I (é a súa imaxe en ${\displaystyle R/I}$ é unha unidade en ${\displaystyle R/I}$), e a factorización de h módulo I ou módulo unha potencia de I, tal que os factores satisfagan a identidade de Bézout módulo I. Nestas probas, ${\textstyle A\equiv B{\pmod {I}}}$ significa ${\displaystyle A-B\in IR[X].}$

Levantamento linear

Sexa I un ideal dun anel conmutativo R, e ${\displaystyle h\in R[X]}$ un polinomio univariado con coeficientes en R que ten un coeficiente principal ${\displaystyle \alpha }$ que é invertíbel módulo I (é dicir, a imaxe de ${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle R/I}$ é unha unidade en ${\displaystyle R/I}$).

Supoña que para algún enteiro positivo k hai unha factorización

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}$

tal que f e g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I, no sentido de que existen ${\displaystyle a,b\ inR[X],}$ tal que ${\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I}}.}$ Entón, hai polinomios ${\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],}$ tal que ${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$ ${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$ e

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{k+1}}}.}$

Nestas condicións, ${\displaystyle \delta _{f}}$ e ${\displaystyle \delta _{g}}$ son únicos módulo ${\displaystyle I^{k+1}R[X].}$

A maiores, ${\displaystyle f+\delta _{f}}$ e ${\displaystyle g+\delta _{g}}$ satisfán a mesma identidade de Bézout que f e g, é dicir, $${\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I}}.}$$ Isto dedúcese inmediatamente das afirmacións anteriores, mais é necesario para aplicar de forma iterativa o resultado con valores crecentes de k.

Unicidade

Sexa R, I, h e ${\displaystyle \alpha }$ como no apartado anterior. Sexa

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}$

unha factorización en polinomios coprimos (no sentido anterior), tal que ${\displaystyle \deg f_{0}+\deg g_{0}=\deg h.}$ A aplicación de levantamento linear para ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n-1\ldots ,}$ mostra a existencia de ${\displaystyle \delta _{f}}$ e ${\displaystyle \delta _{g}}$ tal que ${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$ e

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{n}}}.}$

Os polinomios ${\displaystyle \delta _{f}}$ e ${\displaystyle \delta _{g}}$ están definidos de forma única módulo ${\displaystyle I^{n}.}$ Isto significa que, se outro par ${\displaystyle (\delta '_{f},\delta '_{g})}$ cumpre as mesmas condicións, entón temos

${\displaystyle \delta '_{f}\equiv \delta _{f}{\pmod {I^{n}}}\qquad {\text{e}}\qquad \delta '_{g}\equiv \delta _{g}{\pmod {I^{n}}}.}$

Levantamento cadrático

O levantamento linear permite levantar unha factorización módulo ${\displaystyle I^{n}}$ a unha factorización módulo ${\displaystyle I^{n+1}.}$ O levantamento cadrático permite levantar directamente a unha factorización módulo ${\displaystyle I^{2n},}$ a costa de levantar tamén a identidade de Bézout e de computar módulo ${\displaystyle I^{n}}$ en lugar de módulo I (se se utiliza a descrición anterior de levantamento linear).

O levantamento cadrático baséase na seguinte propiedade.

Supoña que para algún número enteiro positivo k hai unha factorización

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}$

tal que f e g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I, no sentido de que existen ${\displaystyle a,b\in R[X],}$ tal que ${\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I^{k}}}.}$ Daquela, hai polinomios ${\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],}$ tal que ${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$ ${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$ e

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{2k}}}.}$

A maiores, ${\displaystyle f+\delta _{f}}$ e ${\displaystyle g+\delta _{g}}$ satisfai a identidade de Bézout do seguinte xeito

${\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I^{2k}}}.}$

(Isto é necesario para permitir iteracións de levantameno cadrático.)

Exemplo explícito

Sexa ${\displaystyle f(X)=X^{6}-2\in \mathbb {Q} [X].}$

Módulo 2, o lema de Hensel non se pode aplicar xa que a redución de ${\displaystyle f(X)}$ módulo 2 é simplemente^{[1]páxs 15-16}

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}}$

con 6 factores ${\displaystyle X}$ non sendo relativamente primos entre si. Polo criterio de Eisenstein, con todo, pódese concluír que o polinomio ${\displaystyle f(X)}$ é irreducíbel en ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X].}$

Sobre ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{7}}$, por outra parte, temos

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}-{\overline {16}}=(X^{3}-{\overline {4}})\;(X^{3}+{\overline {4}})}$

onde ${\displaystyle 4}$ é a raíz cadrada de 2 en ${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$. Como 4 non é un cubo en ${\displaystyle \mathbb {F} _{7},}$ estes dous factores son irreducíbeis en ${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$. De aí a factorización completa de ${\displaystyle X^{6}-2}$ en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}[X]}$ e ${\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]}$ é

${\displaystyle f(X)=X^{6}-2=(X^{3}-\alpha )\;(X^{3}+\alpha ),}$

onde ${\displaystyle \alpha =\ldots 450\,454_{7}}$ é unha raíz cadrada de 2 en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ que se pode obter levantando a factorización anterior. A outra raíz sería o complemeto a 7 da anterior ${\displaystyle \alpha =\ldots 216213_{7}}$ (ver exemplo de Número p-ádico).

Finalmente, en ${\displaystyle \mathbb {F} _{727}[X]}$ o polinomio divídese en

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=(X-{\overline {3}})\;(X-{\overline {116}})\;(X-{\overline {119}})\;(X-{\overline {608}})\;(X-{\overline {611}})\;(X-{\overline {724}})}$

con todos os factores relativamente primos entre si, de xeito que en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{727}[X]}$ e ${\displaystyle \mathbb {Q} _{727}[X]}$ hai 6 factores ${\displaystyle X-\beta }$ cos enteiros 727-ádicos (non racionais).

${\displaystyle \beta =\left\{{\begin{array}{rrr}3\;+&\!\!\!545\cdot 727\;+&\!\!\!537\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!161\cdot 727^{3}+\ldots \\116\;+&\!\!\!48\cdot 727\;+&\!\!\!130\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!498\cdot 727^{3}+\ldots \\119\;+&\!\!\!593\cdot 727\;+&\!\!\!667\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!659\cdot 727^{3}+\ldots \\608\;+&\!\!\!133\cdot 727\;+&\!\!\!59\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!67\cdot 727^{3}+\ldots \\611\;+&\!\!\!678\cdot 727\;+&\!\!\!596\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!228\cdot 727^{3}+\ldots \\724\;+&\!\!\!181\cdot 727\;+&\!\!\!189\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!565\cdot 727^{3}+\ldots \end{array}}\right.}$

Usando derivadas para levantar raíces

Sexa ${\displaystyle f(x)}$ un polinomio con coeficientes enteiros (ou enteiros p-ádicos) e sexan m, k enteiros positivos tal que m ≤ k. Se r é un número enteiro tal que

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{e}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}}$

daquela, para todo ${\displaystyle m>0}$ existe un enteiro s tal que

${\displaystyle f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{e}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}.}$

A maiores, este s é único módulo p^k+m, e pódese calcular explicitamente como o número enteiro tal que

${\displaystyle s=r-f(r)\cdot a,}$

onde ${\displaystyle a}$ é un número enteiro que satisfai

${\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}.}$

(onde ${\displaystyle [f'(r)]^{-1}}$ é o inverso multiplicativo de ${\displaystyle f'(r)}$ módulo ${\displaystyle p^{m}}$).

Teña en conta que ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}$ e así temos que a condición ${\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}$ cúmprese. Por outra parte, se ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}}$, entón poden existir 0, 1 ou varios s (ver levantamento de Hensel a continuación).

Levantamento de Hensel

Usando o lema, pódese "levantar" unha raíz r do polinomio f módulo p^k a unha nova raíz s módulo p ^{k +1} tal que r ≡ s mod p^k (asumindo m = 1; tomando m maior dedúcese por indución). De feito, unha raíz módulo p^k+1 tamén é unha raíz módulo p ^k, polo que as raíces módulo p^k+1 son precisamente os levantamentos de raíces módulo p^k. A nova raíz s é congruente con r módulo p, polo que a nova raíz tamén satisfai ${\displaystyle f'(s)\equiv f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}.}$ Polo que o levantamento pódese repetir, e partindo dunha solución r_k de ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}$ podemos derivar unha secuencia de solucións r_k+1, r_k+2, ... da mesma congruencia para potencias sucesivamente superiores de p, sempre que ${\displaystyle f'(r_{k})\not \equiv 0{\bmod {p}}}$ para a raíz inicial r_k. Isto tamén mostra que f ten o mesmo número de raíces mod p^k que mod p^{k +1}, mod p^{k +2} ou calquera outra potencia superior de p, sempre que as raíces de f mod p ^k sexan todas simples.

Que pasa con este proceso se r non é unha raíz simple mod p? Supoñamos que

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}.}$

Entón ${\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}$ implica ${\displaystyle f(s)\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}.}$ É dicir, ${\displaystyle f(r+tp^{k})\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}}$ para todos os números enteiros t. Polo tanto, temos dous casos:

• Se ${\displaystyle f(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}$ entón non hai levantamento de r a unha raíz de f (x) módulo p ^{k +1} .
• Se ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}$ entón cada levantamento de r módulo p^k+1 é unha raíz de f (x) módulo p^{k +1} .

Exemplo. Para ver ambos os casos examinamos dous polinomios diferentes con p = 2 :

${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ e r = 1. Entón ${\displaystyle f(1)\equiv 0{\bmod {2}}}$ e ${\displaystyle f'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}$ Temos ${\displaystyle f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}}$ o que significa que ningún levantamento de 1 módulo 4 é unha raíz de f (x) módulo 4.

${\displaystyle g(x)=x^{2}-17}$ e r = 1. Entón ${\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {2}}}$ e ${\displaystyle g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}$ Porén, xa que ${\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {4}},}$ podemos levantar a nosa solución ao módulo 4 e os dous levantamentos (é dicir, 1, 3) son solucións. A derivada aínda é 0 módulo 2, polo que a priori non sabemos se podemos levantalas módulo 8, pero de feito podemos, xa que g(1) é 0 mod 8 e g (3) é 0 mod 8, dando solucións en 1, 3, 5 e 7 mod 8. Dado que deles só g(1) e g (7) son 0 mod 16, podemos levantar só 1 e 7 módulo 16, dando 1, 7, 9 e 15 mod 16. Deles, só 7 e 9 dan g(x) = 0 mod 32, polo que estes poden levantarse dando 7, 9, 23 e 25 mod 32. Resulta que para cada número enteiro k ≥ 3, hai catro levantamentos de 1 mod 2 a unha raíz de g(x) mod 2^k.

Lema de Hensel para números p-ádicos

Nos números p-ádicos, onde podemos dar sentido aos números racionais módulo potencias de p sempre que o denominador non sexa un múltiplo de p, a recursividade de r_k (raíces mod p^k) a r_{k +1} (raíces mod p^{k +1}) pódese expresar dun xeito moito máis intuitivo. En lugar de escoller t para ser calquera enteiro que resolve a congruencia

${\displaystyle tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m},}$

sexa t o número racional (o p^k aquí non é realmente un denominador xa que f(r_k) é divisíbel por p^k):

${\displaystyle -(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k}).}$

Entón temos

${\displaystyle r_{k+1}=r_{k}+tp^{k}=r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}.}$

Esta fracción pode non ser un número enteiro, mais é un enteiro p-ádico, e a secuencia de números r_k converxe nos enteiros p -ádicos a unha raíz de f(x) = 0. A maiores, a fórmula recursiva mostrada para o (novo) número r_k+1 en termos de r_k é precisamente o método de Newton para atopar raíces de ecuacións nos números reais.

Traballando directamente nos p-ádicos e usando o valor absoluto p-ádico, hai unha versión do lema de Hensel que se pode aplicar aínda que comecemos cunha solución de f(a) ≡ 0 mod p tal que ${\displaystyle f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}.}$ Só temos que asegurarnos de que ${\displaystyle f'(a)}$ é distinto de 0. Esta versión máis xeral é a seguinte: se hai un número enteiro a que satisfaga:

${\displaystyle |f(a)|_{p}<|f'(a)|_{p}^{2},}$

entón hai un único enteiro p-ádico b tal f(b) = 0 e ${\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}.}$ A construción de b equivale a mostrar que a recursión do método de Newton co valor inicial a converxe nos p-ádicos e b é o límite. A singularidade de b como raíz que se axusta á condición ${\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}}$ precisa traballo adicional.

A definición do lema de Hensel dada anteriormente (tomando ${\displaystyle m=1}$) é un caso especial desta versión máis xeral, xa que as condicións de que f (a) ≡ 0 mod p e ${\displaystyle f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}}$ quere dicir que ${\displaystyle |f(a)|_{p}<1}$ e ${\displaystyle |f'(a)|_{p}=1.}$

Exemplos

Supoñamos que p é un primo impar e a é un residuo cadrático distinto de cero módulo p. Entón o lema de Hensel implica que a ten unha raíz cadrada no anel de enteiros p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ De feito, sexa ${\displaystyle f(x)=x^{2}-a.}$ Se r é unha raíz cadrada de a módulo p, entón:

${\displaystyle f(r)=r^{2}-a\equiv 0{\bmod {p}}\quad {\text{e}}\quad f'(r)=2r\not \equiv 0{\bmod {p}},}$

onde a segunda condición depende do feito de que p é impar. A versión básica do lema de Hensel dinos que partindo de r₁ = r podemos construír recursivamente unha secuencia de números enteiros ${\displaystyle \{r_{k}\}}$ tal que:

${\displaystyle r_{k+1}\equiv r_{k}{\bmod {p}}^{k},\quad r_{k}^{2}\equiv a{\bmod {p}}^{k}.}$

Esta secuencia converxe a algún enteiro p-ádico b que satisfaga b² = a. De feito, b é a única raíz cadrada de a en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ congruente con r₁ módulo p. No outro sentido, se a é un cadrado perfecto en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ e non é divisíbel por p, entón é un residuo cadrático distinto de cero mod p. Teña en conta que a lei de reciprocidade cadrática permite probar facilmente se a é un residuo cadrático distinto de cero mod p, polo que obtemos un xeito práctico de determinar que números p-ádicos (para p impar) teñen unha raíz cadrada p-ádica, e pode ampliarse para cubrir o caso p = 2 usando a versión máis xeral do lema de Hensel (máis adiante dáse un exemplo con raíces cadradas 2-ádicas de 17).

Exemplo ${\displaystyle sqrt(2)}$ 7-ádica.

Procuremos unha "raíz cadrada de 2" (a solución para ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ ) nos enteiros 7-ádicos. Módulo 7 unha solución é 3 (tamén poderíamos tomar 4), así que establecemos ${\displaystyle r_{1}=3}$. O lema de Hensel permítenos entón atopar ${\displaystyle r_{2}}$ do seguinte xeito:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(r_{1})&=3^{2}-2=7\\f(r_{1})/p^{1}&=7/7=1\\f'(r_{1})&=2r_{1}=6\end{aligned}}}$

En base a cal a expresión

${\displaystyle tf'(r_{1})\equiv -(f(r_{1})/p^{k}){\bmod {p}},}$

convértese en:

${\displaystyle t\cdot 6\equiv -1{\bmod {7}}}$

o que implica ${\displaystyle t=1.}$ Agora:

${\displaystyle r_{2}=r_{1}+tp^{1}=3+1\cdot 7=10=13_{7}.}$

E, por suposto, ${\displaystyle 10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}.}$ (Se usáramos o método de Newton a recursión directamente nos 7-ádicos, entón ${\displaystyle r_{2}=r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})=3-7/6=11/6,}$ e ${\displaystyle 11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2}.}$)

Podemos continuar e atopar ${\displaystyle r_{3}=108=3+7+2\cdot 7^{2}=213_{7}}$. Cada vez que realizamos o cálculo (é dicir, para cada valor sucesivo de k), engádese un díxito máis en base 7 para a potencia maior de 7 seguinte. Nos enteiros 7-ádicos esta secuencia converxe, e o límite é unha raíz cadrada de 2 en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ que ten unha expansión inicial en 7-ádicos

${\displaystyle 3+7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+7^{4}+2\cdot 7^{5}+7^{6}+2\cdot 7^{7}+4\cdot 7^{8}+\cdots .}$

Se comezamos coa opción inicial ${\displaystyle r_{1}=4}$, entón o lema de Hensel produciría unha raíz cadrada de 2 en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ que é congruente con 4 (mod 7) en lugar de 3 (mod 7) e de feito esta segunda raíz cadrada sería o negativo da primeira raíz cadrada (que é consistente con 4 = −3 mod 7).

Exemplo ${\displaystyle sqrt(17)}$ 2-ádica.

Neste exemplo a versión orixinal do lema de Hensel non é válida pero a máis xeral si que o é, sexa ${\displaystyle f(x)=x^{2}-17}$ e ${\displaystyle a=1.}$ Entón ${\displaystyle f(a)=-16}$ e ${\displaystyle f'(a)=2,}$ polo que

${\displaystyle |f(a)|_{2}<|f'(a)|_{2}^{2},}$

o que implica que hai un único enteiro 2-ádico b satisfactorio

${\displaystyle b^{2}=17\quad {\text{e}}\quad |b-a|_{2}<|f'(a)|_{2}={\frac {1}{2}},}$

é dicir, b ≡ 1 mod 4. Hai dúas raíces cadradas de 17 nos enteiros 2- ádicos, que se diferencian por un signo, e aínda que son congruentes mod 2 non son congruentes mod 4. Isto é consistente coa versión xeral do lema de Hensel só nos dá unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que é congruente con 1 mod 4 en lugar de mod 2. Se comezaramos coa raíz aproximada inicial a = 3, entón poderiamos aplicar de novo o lema de Hensel máis xeral para atopar unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que sexa congruente co 3 mod 4. Este é o outro 2. - Raíz cadrada ádica de 17.

En termos de levantar as raíces de ${\displaystyle x^{2}-17}$ en módulo 2^k a 2^k+1 , os levantamentos que comezan coa raíz 1 mod 2 son os seguintes:

1 mod 2 → 1, 3 mod 4

1 mod 4 → 1, 5 mod 8 e 3 mod 4 → 3, 7 mod 8

1 mod 8 → 1, 9 mod 16 e 7 mod 8 → 7, 15 mod 16, mentres que 3 mod 8 e 5 mod 8 non levantan a raíces mod 16

9 mod 16 → 9, 25 mod 32 e 7 mod 16 → 7, 23 mod 16, mentres que 1 mod 16 e 15 mod 16 non se levantan a raíces mod 32.

Por cada k maior ou igual a 3, hai catro raíces de x² − 17 mod 2^k, mais se observamos as súas expansións 2-ádicas podemos ver que en parellas están converxendo a só dous límites 2-ádicos. Por exemplo, as catro raíces mod 32 divídense en dous pares de raíces coa mesma aparencia mod 16:

9 = 1 + 2³ e 25 = 1 + 2³ + 2⁴.

7 = 1 + 2 + 2² e 23 = 1 + 2 + 2² + 2⁴.

As raíces cadradas 2-ádicas de 17 teñen expansións

${\displaystyle 1+2^{3}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{9}+2^{10}+\cdots }$

${\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{4}+2^{8}+2^{11}+\cdots }$

Exemplo ${\displaystyle x^{3}-c}$.

Outro exemplo onde podemos usar a versión máis xeral do lema de Hensel mais non a versión básica é unha proba de que calquera enteiro en 3-ádicos c ≡ 1 mod 9 é un cubo en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}.}$ Sexa ${\displaystyle f(x)=x^{3}-c}$ e tome a aproximación inicial a = 1. O lema básico de Hensel non se pode usar para atopar raíces de f(x) xa que ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {3}}}$ para cada r. Para aplicar a versión xeral do lema de Hensel queremos ${\displaystyle |f(1)|_{3}<|f'(1)|_{3}^{2},}$ que significa ${\displaystyle c\equiv 1{\bmod {2}}7.}$

É dicir, se c ≡ 1 mod 27 entón o lema xeral de Hensel dinos que f(x) ten unha raíz 3-ádica, polo que c é un cubo en 3-ádicos. No entanto, quereríamos ter este resultado baixo a condición máis débil de que c ≡ 1 mod 9. Se c ≡ 1 mod 9 entón c ≡ 1, 10 ou 19 mod 27. Podemos aplicar o lema xeral de Hensel tres veces dependendo do valor de c mod 27: se c ≡ 1 mod 27 entón usamos a = 1, se c ≡ 10 mod 27 entón usamos a = 4 (xa que 4 é unha raíz de f(x) mod 27), e se c ≡ 19 mod 27 entón usamos a = 7. (Non é certo que cada c ≡ 1 mod 3 sexa un cubo 3-ádico, por exemplo, 4 non é un cubo 3- ádico xa que non é un cubo módulo 9.)

De xeito similar, despois dun traballo preliminar, o lema de Hensel pódese usar para mostrar que para calquera número primo impar p, calquera enteiro p-ádico c congruente a 1 módulo p² é unha potencia p-ésima en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ (Isto é falso para p = 2.)

Notas

1. Gras, Georges (2003). Class field theory : from theory to practice. Berlin. ISBN 978-3-662-11323-3. OCLC 883382066. 

Véxase tamén

Bibliografía

• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94269-8. MR 1322960. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. 
• Milne, J. G. (1980). Étale cohomology. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08238-7. 

Outros artigos

• Teorema de Hasse-Minkowski
• Lema Lifting-the-exponent

Ligazóns externas

• Hensel`s lemma KEITH CONRAD.