Bothe naît à Oranienbourg, de Friedrich Bothe, maître horloger, et Charlotte Bothe née Hartung, son épouse, couturière. Il passe son enfance et la majeure partie de sa jeunesse dans sa ville natale. Né au 2, Berliner Straße, il déménage en 1892 au 7, Bernauer Straße (les deux maisons furent entièrement détruites lors des bombardements de la Seconde Guerre mondiale). Il se distingue alors par un esprit aiguisé et logique, une volonté inflexible et un don pour la musique et la peinture.
Il passe son baccalauréat en 1908 à Berlin, puis y étudie la physique, les mathématiques, la chimie et la musique à l'université jusqu'en 1913. Il finance ses études par des cours privés et des travaux occasionnels pour compléter ses bourses.
Au cours de la Première Guerre mondiale, Bothe est fait prisonnier de guerre par les Russes. Durant sa captivité, il développe avec des moyens de fortune des fabriques d'allumettes et de soude. Il contribue en outre à plusieurs problèmes de mathématiques et se consacre à l'apprentissage du russe.
Le , à Moscou, il épouse Barbara (Warwara) Belowa. Il l'a rencontrée à Berlin avant la guerre et a régulièrement correspondu avec elle. De ce mariage ils auront deux filles. Il retourne en Allemagne en 1920.
Il a joué un rôle clé dans la découverte du neutron en collaboration avec Herbert Becker. En 1930, Bothe et Becker emploient les particules alpha émis par le polonium pour bombarder les éléments légers lithium, béryllium et bore. Ils observent une nouvelle forme de rayonnement qui possède un très grand pouvoir de pénétration. En 1932 James Chadwick identifie ce nouveau rayonnement comme étant le neutron.
(en) Biographie sur le site de la fondation Nobel (le bandeau sur la page comprend plusieurs liens relatifs à la remise du prix, dont un document rédigé par la personne lauréate — le Nobel Lecture — qui détaille ses apports)
