Théorème de Feit-Thompson

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le théorème de Feit-Thompson^[1],[2], également appelé théorème de Feit et Thompson^[3],[4] ou théorème de l'ordre impair, énonce que tout groupe fini d'ordre impair est résoluble, ce qui équivaut à dire que tout groupe simple fini non commutatif est d'ordre pair. Ce théorème, conjecturé en 1911 par William Burnside^[5], fut démontré en 1963 par Walter Feit et John Griggs Thompson^[6].

Historique

Le théorème lui-même et bon nombre de techniques que Feit et Thompson inauguraient dans leur démonstration jouèrent un rôle essentiel dans la classification des groupes simples finis.

La démonstration originale de Feit et Thompson, longue de plus de deux cent cinquante pages, a été simplifiée dans certains détails, mais elle n'a pas été considérablement raccourcie et sa structure générale n'a pas été modifiée. Une démonstration simplifiée a été publiée en deux volumes^[7],[8]. Une esquisse de la démonstration est présentée dans Finite Groups de Daniel Gorenstein^[9].

Une formalisation de la démonstration en Coq (un assistant de preuve) a été achevée en septembre 2012 par Georges Gonthier et son équipe du laboratoire commun Inria-Microsoft^{[3],[10],[11]}.

Nombre résoluble

Un nombre résoluble^[12] est un entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit résoluble. On déduit du théorème de Feit-Thompson une généralisation^[13] : n est résoluble si et seulement s'il n'est multiple d'aucun des nombres suivants :

• ${\displaystyle 2^{p}(2^{2p}-1)}$ pour p premier ;
• ${\displaystyle 3^{p}(3^{2p}-1)/2}$ pour p premier impair ;
• ${\displaystyle p(p^{2}-1)/2}$ pour p premier strictement supérieur à 3 tel que ${\displaystyle p^{2}+1\equiv 0{\pmod {5}}}$ ;
• ${\displaystyle 2^{4}\times 3^{3}\times 13}$ ;
• ${\displaystyle 2^{2p}(2^{2p}+1)(2^{p}-1)}$ pour p premier impair.

En particulier, si n n'est pas divisible par 4 (ou^[12] s'il n'est divisible ni par 3, ni par 5), alors il est résoluble^[13].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Feit–Thompson theorem » (voir la liste des auteurs).

1. Lluis Puig, « La classification des groupes finis simples : bref aperçu et quelques conséquences internes », Séminaire Bourbaki, vol. 24,‎ 1981-1982, p. 101-128 (ISSN 0303-1179, lire en ligne)
2. Jean-Pierre Serre, Cohomologie galoisienne, vol. 5, Cham, Springer-Verlag, coll. « Lectures Notes in Mathematics », 2007 (ISBN 978-3-540-24927-6)
3. Jérôme Germoni, « Coq et caractères », Échos de la recherche, sur Images des mathématiques, 23 novembre 2012.
4. « " GROUPES (mathématiques) Représentation linéaire des groupes », sur Encyclopédie Universalis
5. (en) William Burnside, Theory of groups of finite order, Second Edition, 2004 (1^re éd. 1911), 512 p. (ISBN 978-0-486-49575-0), p. 503.
6. (en) Walter Feit et John G. Thompson, « Solvability of groups of odd order », Pac. J. Math., vol. 13,‎ 1963, p. 775-1029 (lire en ligne).
7. (en) Helmut Bender et George Glauberman, Local analysis for the odd order theorem, CUP, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (n^o 188), 1994, 174 p. (ISBN 978-0-521-45716-3, lire en ligne).
8. (en) Thomas Peterfalvi, Character Theory for the Odd Order Theorem, CUP, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (n^o 272), 2000, 154 p. (ISBN 978-0-521-64660-4, lire en ligne).
9. (en) Daniel Gorenstein, Finite Groups, Chelsea, 1980, 2^e éd., 519 p. (ISBN 978-0-8218-4342-0, lire en ligne), p. 450-461.
10. (en) « Feit-Thompson theorem has been totally checked in Coq », Msr-inria.inria.fr, 20 septembre 2012.
11. (en) Georges Gonthier et al., « A Machine-Checked Proof of the Odd Order Theorem », dans Interactive Theorem Proving, Springer Science + Business Media, coll. « LNCS (en) » (n^o 7998), 2013 (ISBN 978-3-642-39633-5, DOI 10.1007/978-3-642-39634-2_14, lire en ligne), p. 163-179.
12. (en) Orders of non-solvable groups, i.e., numbers that are not solvable numbers : suite A056866 de l'OEIS.
13. (en) Jonathan Pakianathan et Krishnan Shankar, « Nilpotent numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 107, n^o 7,‎ 2000, p. 631-634 (JSTOR 2589118, lire en ligne) (caractérisation des nombres nilpotents, abéliens et cycliques).

Article connexe

Conjecture de Feit-Thompson