Nombre cyclique (théorie des groupes)

En théorie des groupes, un nombre cyclique est un entier n tel qu'il n'existe qu'un groupe fini d'ordre n (à isomorphisme près) : le groupe cyclique (ℤ/nℤ, +), ou encore, un entier n tel que tout groupe d'ordre n soit cyclique.

De même, un nombre abélien est un entier n tel que tout groupe d'ordre n soit abélien.

Tout nombre cyclique est abélien, et tout nombre abélien est nilpotent. L'appartenance d'un entier à l'une de ces classes se lit sur sa décomposition en facteurs premiers.

Exemples et contre-exemples

Le nombre 1 est cyclique (voir « Groupe trivial »).
Tout nombre premier est cyclique (voir « Applications du théorème de Lagrange »).
Le nombre 15 est cyclique (voir « Applications des théorèmes de Sylow »).
Tout carré d'un nombre premier est abélien mais non cyclique (voir « Remarque sur les p-groupes »).
Aucun nombre pair supérieur ou égal à 6 n'est abélien (voir « Groupe diédral »).
Aucun cube de nombre premier p n'est abélien (voir « Groupe de Heisenberg sur F_p »).
Tout diviseur d'un nombre abélien (resp. cyclique) est abélien (resp. cyclique) (voir « Produit direct »).

Voir aussi : « Liste des petits groupes ».

Caractérisation

Soit p₁^k₁ … p_r^k_r la décomposition de n en facteurs premiers (avec p₁ < … < p_r et k_i ≥ 1).

n est cyclique si et seulement si^[1]^,^[2]^,^[3]^,^[4]^,^[5] n est premier avec φ(n), où φ désigne l'indicatrice d'Euler ou plus explicitement : si n est sans carré (c'est-à-dire que tous les exposants k_i sont égaux à 1) et pour tout $i < j$ , $p i$ ne divise pas $p j - 1$ .
n est abélien si et seulement si^[6]^,^[4] n est « sans cube » (c'est-à-dire que pour chaque i, k_i est égal à 1 ou 2) et pour tout $i \neq j$ , $p i$ ne divise pas $p j k j - 1$ .

Corollaires :

Si n est abélien, le nombre de groupes abéliens d'ordre n est égal à $2^{\sum (k_{i}-1)}$ ^[4].
Pour tous entiers naturels a et b non tous deux nuls, il existe une infinité de nombres abéliens contenant a facteurs premiers à la puissance 1 et b facteurs premiers à la puissance 2 (d'après le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet)^[7]. De même, pour tout a non nul, il existe une infinité de nombres cycliques ayant a facteurs premiers.

Démonstration

Article détaillé : Nombre nilpotent.

Tout groupe cyclique est abélien, c'est-à-dire nilpotent de classe au plus 1. Or l'article détaillé montre que :

l'entier n est nilpotent (i. e. tout groupe d'ordre n est nilpotent) si et seulement si pour tous $i \neq j$ et tout $k$ compris entre $1$ et $k i$ , $p j$ ne divise pas $p i k - 1$ ;
tout groupe d'ordre n est nilpotent de classe au plus c (pour c ≥ 1) si et seulement si, de plus, n est « sans puissances (c + 2)-ièmes ».

Les nombres abéliens sont donc les nombres nilpotents sans cubes. Montrons de même que les nombres cycliques sont les nombres nilpotents sans carré. Tout groupe nilpotent fini est produit direct de ses sous-groupes de Sylow ; il est donc cyclique si (et seulement si) ses sous-groupes de Sylow le sont. Par conséquent, l'entier n est cyclique si et seulement s'il est nilpotent et si de plus, chacun de ses facteurs primaires p_i^k_i est un nombre cyclique, c'est-à-dire (voir supra) k_i = 1.

Notes et références

↑ (de) Tibor Szele, « Über die endichen Ordnungszahlen, zu denen nur eine Gruppe gehört », Comment. Math. Helv., vol. 20,‎ 1947, p. 265-267 (DOI 10.1007/BF02568132).
↑ (en) Dieter Jungnickel, « On the uniqueness of the cyclic group of order $n$ », Amer. Math. Monthly, vol. 99, n^o 6,‎ 1992, p. 545-547 (JSTOR 2324062, lire en ligne).
↑ (en) Joseph Gallian et David Moulton, « When is $Z n$ the only group of order $n$ ? », Elemente der Mathematik, vol. 48, n^o 3,‎ 1993, p. 117-119 (lire en ligne).
↑ ^{a b et c} (en) Jonathan Pakianathan et Krishnan Shankar, « Nilpotent numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 107, n^o 7,‎ 2000, p. 631-634 (JSTOR 2589118, lire en ligne).
↑ (en) Sumit Kumar Upadhyay et Shiv Datt Kumar, « Existence of a unique group of finite order », preprint,‎ 2011 (arXiv 1104.3831).
↑ (en) L. E. Dickson, « Definitions of a group and a field by independent postulates », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 6,‎ 1905, p. 198-204 (lire en ligne), § 5.
↑ (en) Thomas W. Müller, « An arithmetic theorem related to groups of bounded nilpotency class », Journal of Algebra, vol. 300, n^o 1,‎ 2006, p. 10-15 (lire en ligne).