Si les zéros ne sont pas permis au début des nombres, alors 142 857 est le seul nombre cyclique décimal. Mais s'ils sont permis, la suite des nombres cycliques commence comme suit :
Pour être cyclique, seuls les multiples successifs du nombre doivent être considérés et ceux-ci doivent correspondre à des permutations circulaires du nombre. Ainsi, le nombre 076923 n'est pas considéré comme cyclique, même si toutes ses permutations circulaires sont des multiples, car ceux-ci ne sont pas successifs :
076923 × 1 = 076923
076923 × 3 = 230769
076923 × 4 = 307692
076923 × 9 = 692307
076923 × 10 = 769230
076923 × 12 = 923076
Cette restriction exclut aussi des cas triviaux tels :
chiffres répétés, par exemple : 555 ;
nombres cycliques répétés, par exemple : 142 857 142 857 ;
chiffres uniques précédés de zéros, par exemple : 005.
Les chiffres uniques peuvent être considérés comme des nombres cycliques triviaux ou dégénérés.
Relation avec les développements décimaux périodiques
Par exemple, le cas b = 10, p = 7 donne le nombre cyclique 142857.
Toutes les valeurs de p ne généreront pas forcément un nombre cyclique selon cette formule; par exemple p = 13 donne 076923076923. Ces cas erronés contiendront toujours une ou plusieurs répétitions de chiffres.
Les vingt premières valeurs de p pour lesquelles cette formule produit un nombre cyclique en notation décimale sont (suite A001913 de l'OEIS) :
Cette procédure fonctionne en calculant les décimales de 1/p en base b, par division longue. r est le reste à chaque étape et d est la décimale produite.
L'étape
n = n · b + d
sert uniquement à colliger les chiffres. Dans les langages incapables d'opérer sur des nombres entiers très grands, les chiffres doivent être exprimés ou conservés autrement.
Il est notable que si t excède p/2, le nombre est forcément cyclique, sans besoin de calculer les chiffres restants.
Propriétés d'un nombre cyclique
Le produit d'un nombre cyclique avec le nombre premier ayant servi à le générer consiste en une suite de chiffres 9. Par exemple, 142 857 × 7 = 999 999.
L'addition de l'entier correspondant à la première moitié des chiffres d'un nombre cyclique à l'entier correspondant à la seconde moitié de ceux-ci consiste en une suite de chiffres 9 : 142 + 857 = 999.
Un nombre cyclique tronqué après ses n premiers chiffres (non tous nuls) est une approximation par défaut de la fraction 10n/p. Si r est le reste entier de cette division, alors le nombre cyclique peut être produit en commençant par ses n premiers chiffres, puis en additionnant le r × le nombre précédemment additionné et décalé de n rangs vers la droite :
Exemple : pour p=7, le nombre cyclique est 142857142857...
avec n=1 : 10 = 7 × 1 + 3 (1 = premier chiffre du nombre cyclique, reste r = 3)
avec n=2 : 100 = 7 × 14 + 2 (14 = 2 premiers chiffres du nombre cyclique, reste r = 2)
avec n=3 : 1000 = 7 × 142 + 6 (142 = 3 premiers chiffres du nombre cyclique, reste r = 6), etc.
En base 24 (notation en utilisant les lettres de A à N) (suite A019351 de l'OEIS) :
Chiffres
Nombre cyclique
6
3A6 KDH
10
2 48H ALJ F6D
12
1K7 95C M3G EIB
16
1 9L4 5FC GME 2JI 8B7
30
0ID MAK 327 HJ8 C96 N5A 1D3 KLG 64F BEH
Noter qu'en notation ternaire (b = 3), le cas p = 2 génère 1 comme nombre cyclique. Bien que les chiffres uniques puissent être considérés comme des cas triviaux, il peut être utile, pour la complétude de la théorie, de les considérer, mais uniquement lorsqu'ils sont générés de cette façon.
On peut démontrer qu'aucun nombre cyclique (autre que les chiffres uniques triviaux) d'aucune base arithmétique n'est un carré parfait ; ainsi il n'y a aucun nombre cyclique en base hexadécimale.
Voir aussi
Références
↑ abc et dPascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN978-2-916352-75-6), I. Arithmétique de ℤ, chap. 2.4 (« Développement décimal de 1/p, d'après J. Germoni »), p. 28-34.
(en) Martin Gardner, Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American, New York, MAA, 1979, p. 111-122