D’une superficie de 4 265 m2, le square est situé entre le quai de Montebello sur la Seine au nord, et l'église Saint-Julien-le-Pauvre au sud, à l’emplacement d’une ancienne annexe de l’Hôtel-Dieu et de maisons. Il possède trois entrées : l'une par le 2, rue du Fouarre ; l'autre au niveau du 25, quai de Montebello, au croisement avec la rue Saint-Julien-le-Pauvre et une autre plus haut, le long de cette même voie.
Il est accessible aux personnes à mobilité réduite sur certaines zones. Il compte un point d'eau potable. Les chiens doivent y être tenus en laisse dans les allées[1].
En 1939, Paul Tournon est chargé d’établir les plans du « musée de la Civilisation chrétienne », autour de l’église Saint-Julien-le-Pauvre. Le projet est abandonné en 1941[2].
Le square doit son nom à l'avocat et homme politique français René Viviani (1863-1925), un temps député du 5e arrondissement de Paris à la fin du XIXe siècle, premier ministre du Travail et inventeur de l'impôt sur le revenu.
Le square a la particularité d'abriter un robinier (Robinia pseudoacacia) planté en 1601 par le botaniste Jean Robin, qui introduisit l'espèce en France. Cet arbre, haut de 11 m et d'une circonférence de 3,85 m, est classé « arbre remarquable » et est considéré comme le plus vieil arbre de Paris[4],[5],[6],[1].