Gardien légendaire, il n'a encaissé que 70 buts en 91 sélections avec l'équipe d'Union soviétique de football (soit un ratio de 0,77 but par match), pour laquelle il a réalisé près de 44 clean sheets (matchs officiels sans encaisser de but)[2].
Né au bord de la mer Caspienne à Bayalda dans la région d'Astrakhan, son père travaillait dans une fabrique de pêche, tandis que sa mère était contrôleur au port fluvial sur la Volga[3].
À l'âge de neuf ans, Dasaev commence à s'entraîner à l'école de football au sein du club FK Volgar-Gazprom Astrakhan qu'il intègre en 1975. L'année suivante, il participe à 26 des 40 matchs de son club et passe du statut de remplaçant à celui de titulaire, évinçant au passage Youri Makov. Il joue pour la dernière fois avec FK Volgar-Gazprom le , puis, part pour Moscou rejoindre l'équipe de Spartak.
Rinat devient le gardien de but du Spartak pendant la majeure partie des années 1980. Il gagne le championnat de l'U.R.S.S. à deux reprises et glane un grand nombre de récompenses individuelles[4].
Après que son contrat se fut fini avec le FC Séville au début des années 1990, Dasaev met fin à sa carrière internationale de joueur.
Il a ensuite été l'entraîneur adjoint de la Russie de 2003 à 2006, puis entraîneur du Torpedo Moscou en 2007 et 2008.
En 2015, lors de la cérémonie de Golden Foot, il appose ses empreintes sur la Promenade des champions après avoir reçu son trophée dans la catégorie des Légendes[5],[6].