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(Lascoux 1995) raconte l'histoire des polynômes de Schubert.
Les polynômes de Schubert sont des polynômes en une infinité de variables Ils sont indexés par un élément du groupe symétrique infini formé des permutations de qui fixent tous les entiers sauf un nombre fini. Ils forment une base de l'anneau des polynômes en une infinité de variables.
L'anneau de cohomologie de la variété des drapeaux est un quotient où est l'idéal engendré par certains polynômes symétriques homogènes de degré strictement positif. Le polynôme de Schubert est l'unique polynôme homogène de degré qui représente le cycle de Schubert associé à dans l'anneau pour assez grand[réf. nécessaire].
Propriétés
Les polynômes de Schubert ont deux propriétés caractéristiques :
si est la permutation de longueur maximale dans le groupe symétrique alors ;
on a si , où est la transposition et où est l'opérateur de différence divisée qui envoie sur .
Ces deux propriétés permettent de calculer les polynômes de Schubert de façon récursive. Cela implique notamment que .
Voici d'autres propriétés de ces polynômes :
;
si est la transposition , alors ;
si pour tous , alors est le polynôme de Schur où est la partition ; en particulier, tous les polynômes de Schur (d'un nombre fini de variables) sont des polynômes de Schubert ;
les coefficients des polynômes de Schubert sont positifs ; une conjecture pour calculer leurs coefficients a été proposée par Richard P. Stanley et prouvée indépendamment dans deux articles, l'un par Sergey Fomin et Stanley, l'autre par Sara Billey, William Jockusch et Stanley ;
les polynômes de Schubert peuvent être considérés comme la fonction génératrice de certains objets combinatoires appelés chimères ou graphes-rc ; ces objets sont en bijection avec les faces de Kogan réduites (introduites dans la thèse de Mikhail Kogan), qui sont des faces particulières des polytopes de Gelfand-Tsetlin ;
les polynômes de Schubert peuvent également être écrits comme une somme pondérée d'objets appelés chimères sans bosses.
On a par exemple :
Constantes de structure multiplicatives
Comme les polynômes de Schubert forment une base entière de l'anneau des polynômes, il existe des coefficients uniques tels que
Les polynômes de Schubert doubles sont des polynômes en deux familles infinies de variables, paramétrés par un élément w du groupe symétrique infini S_\infty, qui se spécialisent en les polynômes de Schubert habituels lorsque toutes les variables sont envoyées sur .
Les polynômes de Schubert doubles sont caractérisés par les propriétés suivantes :
quand est la permutation sur de longueur maximale ;
si .
Les polynômes de Schubert doubles peuvent également être définis par la relation
(Fulton 1999) a défini des polynômes de Schubert universels, qui generalisent les polynômes de Schubert classiques et quantiques. Il a également défini une version universelle des polynômes de Schubert doubles qui généralise les polynômes de Schubert doubles évoqués ci-dessus.
I.G. Macdonald, Notes on Schubert polynomials, vol. 6, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (LACIM), Université du Québec à Montréal, coll. « Publications du Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique », 1991b (ISBN978-2-89276-086-6, lire en ligne)