Polynôme de Bernstein-Sato

En mathématiques, le polynôme de Bernstein-Sato est une construction mathématique qui facilite l'étude de certaines intégrales ou opérateurs différentiels^[1],[2]. Il tient son nom des mathématiciens Joseph Bernstein et Mikio Satō, qui l'ont découvert en 1971 et 1972^[3],[4]. Ce polynôme joue un rôle important dans l'étude des équations aux dérivées partielles et est intimement lié à la construction des D-modules^[5]. Enfin, il permet de démontrer la régularité de certaines constructions de physique quantique des champs^[6],[7].

Histoire

L'introduction des polynômes de Bernstein-Sato était initialement motivée par un problème posé par Israel Gelfand au congrès international des mathématiciens de 1954, à Amsterdam : si ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ est une fonction analytique réelle, alors on peut construire pour tout complexe ${\displaystyle s}$ l'objet ${\displaystyle f_{+}^{s}(x)={\boldsymbol {1}}_{f(x)>0}f(x)^{s}}$. En tant que fonction, ${\displaystyle f_{+}^{s}}$ est continue selon ${\displaystyle x}$ et analytique en ${\displaystyle s}$, là où ${\displaystyle s}$ est de partie réelle positive. Gelfand demande alors : peut-on prolonger analytiquement ${\displaystyle f_{+}^{s}}$ à tout le plan complexe ?

C'est pour répondre à cette question que Sato a introduit le polynôme ${\displaystyle b}$, dont Bernstein a montré l'existence en général^[8].

La construction a depuis été étendue à des variétés algébriques générales^[9] et plusieurs algorithmes sont connus pour déterminer les polynômes de Bernstein-Sato dans des cas d'intérêt^[10],[11].

Définition

Filtration de Bernstein

On se place dans l'algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{n}(k)}$, la sous-algèbre de ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k}(k[x_{1},\dotsc ,x_{n}])}$ engendrée par ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n},\partial _{1},\dotsc ,\partial _{n}}$, où ${\displaystyle \partial _{i}}$ est la dérivation par rapport à ${\displaystyle x_{i}}$. On utilise la notation multi-indicielle ${\displaystyle x^{\boldsymbol {\alpha }}=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$ et ${\displaystyle \partial ^{\boldsymbol {\beta }}=\partial _{1}^{\beta _{1}}\cdots \partial _{n}^{\beta _{n}}}$. Alors la famille ${\displaystyle \{x^{\boldsymbol {\alpha }}\partial ^{\boldsymbol {\beta }}\}}$ est une base de ${\displaystyle A_{n}(k)}$. On définit alors la filtration de Bernstein ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ par :

${\displaystyle F_{i}=\left\{\sum _{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}a_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}x^{\boldsymbol {\alpha }}\partial ^{\boldsymbol {\beta }}\colon |{\boldsymbol {\alpha }}|+|{\boldsymbol {\beta }}|\leq i\right\}.}$

L'anneau gradué associé est commutatif, et isomorphe à un anneau de polynômes sur ${\displaystyle k}$ donc noethérien.

Polynôme de Bernstein-Sato

Soit ${\displaystyle \lambda }$ une indéterminée formelle, et ${\displaystyle P\in k[x]}$ un polynôme non nul. Alors il existe un polynôme non nul ${\displaystyle b\in k[\lambda ]}$ et un élément ${\displaystyle Q(\lambda ,x,\partial )\in A_{n}(k)[\lambda ]}$ tels que l'égalité suivante est vérifiée : ${\displaystyle b(\lambda )P^{\lambda }=Q(\lambda ,x,\partial )\cdot P^{\lambda +1}}$.

L'ensemble des ${\displaystyle b(\lambda )}$ qui satisfont cette égalité forme un idéal de ${\displaystyle k[\lambda ]}$ ; cet idéal est principal et possède un générateur ${\displaystyle b_{0}}$, qui est appelé polynôme de Bernstein-Sato du polynôme ${\displaystyle P}$.

Exemples

• Considérons le polynôme ${\displaystyle P=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ (qui correspond au calcul du carré de la norme euclidienne). On a ${\displaystyle \Delta P(x)^{\lambda +1}=4(\lambda +1)(\lambda +n/2)P(x)^{\lambda }}$ de sorte que le polynôme de Bernstein-Sato de ${\displaystyle P}$ est ${\displaystyle (\lambda +1)(\lambda +n/2)}$.
• Considérons l'intégrale ${\displaystyle \Gamma _{f}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x}$, avec ${\displaystyle f}$ une fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$qui s'annule aux infinis. En intégrant par parties, on obtient ${\displaystyle (2\lambda +1)(2\lambda +2)\int x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x=\int x^{2\lambda +1}f''(x)\,\mathrm {d} x}$ qui montre notamment que ${\displaystyle \Gamma _{f}}$ est une intégrale bien définie et holomorphe (pour ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0}$) et qu'elle admet un prolongement méromorphe à ${\displaystyle \mathbb {C} }$, avec des pôles dans ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\mathbb {N} }$. On reconnaît en fait la présence du polynôme de Bernstein-Sato de ${\displaystyle x^{2}}$ calculé précédemment : ${\displaystyle (\lambda +1)(\lambda +1/2)}$.
• Il s'agit d'un phénomène général : l'intégrale de l'exemple précédent, où ${\displaystyle x^{2}}$ est remplacé par un polynôme quelconque, donne lieu à une équation fonctionnelle similaire. Elle sera donc prolongeable au plan complexe de manière méromorphe, et les pôles correspondent aux zéros du polynôme de Bernstein-Sato moins un entier.
• Soit ${\displaystyle P=x_{1}^{2}+x_{2}^{3}}$, alors le polynôme de Bernstein-Sato correspondant est ${\displaystyle (\lambda +1)\left(\lambda +{\frac {5}{6}}\right)\left(\lambda +{\frac {7}{6}}\right)}$.

Propriétés

• Tous les polynômes de Bernstein sont scindés sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[12].
• Le polynôme de Bernstein-Sato montre qu'un polynôme peut être inversé par une distribution tempérée, d'où on tire le théorème de Malgrange-Ehrenpreis.

Notes et références

1. (en) Coutinho, S. C., A primer of algebraic D-modules, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 0-521-55908-1, OCLC 831664169, lire en ligne)
2. (en) Kashiwara, Masaki, 1947-, D-modules and microlocal calculus, American Mathematical Society, 2003, 254 p. (ISBN 978-0-8218-2766-6, OCLC 50773693, lire en ligne)
3. (en) J. Bernstein, « Modules over a ring of differential operators. Study of the fundamental solutions of equations with constant coefficients », Functional Analysis and Its Applications, vol. 5, n^o 2,‎ 1^er avril 1971, p. 89–101 (ISSN 0016-2663 et 1573-8485, DOI 10.1007/bf01076413, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)
4. (en) M. Sato et T. Shintani, « On Zeta Functions Associated with Prehomogeneous Vector Spaces », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 69, n^o 5,‎ 1972, p. 1081–1082 (DOI 10.1073/pnas.69.5.1081, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)
5. (en) Armand Borel, Algebraic D-modules, Academic Press, 1987 (ISBN 978-0-12-117740-9, OCLC 14904496, lire en ligne)
6. Pavel Etingof, Quantum fields and strings : a course for mathematicians : Note on dimensional regularization, American Mathematical Society, 1999, 723 p. (ISBN 978-0-8218-2012-4, OCLC 278001702, lire en ligne)
7. (en) Fyodor Tkachov, « Algebraic algorithms for multiloop calculations The first 15 years. What's next? », Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, vol. 389, n^os 1-2,‎ 1997, p. 309–313 (DOI 10.1016/s0168-9002(97)00110-1, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)
8. (en) David Eisenbud, Srikanth B. Iyengar, Anurag K. Singh, Toby Stafford et Michel Van den Bergh, Commutative algebra and noncommutative algebraic geometry, Cambridge University Press, 2013, 451 p. (ISBN 978-1-107-06562-8, OCLC 930068108, lire en ligne), p. 394.
9. (en) Nero Budur, Mircea Mustaţa et Morihiko Saito, « Bernstein–Sato polynomials of arbitrary varieties », Compositio Mathematica, vol. 142, n^o 3,‎ mai 2006, p. 779-797 (ISSN 1570-5846 et 0010-437X, DOI 10.1112/s0010437x06002193, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018).
10. Daniel Andres, Viktor Levandovskyy et Jorge Martín Morales, « Principal intersection and bernstein-sato polynomial of an affine variety », arXiv, ACM,‎ 28 juillet 2009, p. 231-238 (ISBN 9781605586090, DOI 10.1145/1576702.1576735, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018).
11. (en) Christine Berkesch et Anton Leykin, « Algorithms for Bernstein-Sato polynomials and multiplier ideals », arXiv:1002.1475 [math],‎ 7 février 2010 (lire en ligne, consulté le 12 mars 2018).
12. (en) Masaki Kashiwara, « B-functions and holonomic systems », Inventiones mathematicae, vol. 38, n^o 1,‎ 1^er février 1976, p. 33–53 (ISSN 0020-9910 et 1432-1297, DOI 10.1007/BF01390168, lire en ligne, consulté le 12 mars 2018)