Il naît de deux parents handicapés mentaux, qui se sont rencontrés dans une structure spécialisée[5]. Il vit avec ses parents jusqu'à ses dix ans, moment où ses parents se séparent, à la suite de l'implication de son père dans des histoires criminelles[6]. Matt Gibbon, ainsi que son frère Alex et sa mère, partent alors vivre chez ses grands-parents maternels[6].
Matt Gibbon suit son enseignement secondaire dans un premier temps à la Alstonville High School, avant de rejoindre en 2010 le réputé Nudgee College(en) dans le Queensland, en internat[7]. Par la suite, il fait un apprentissage dans le domaine de l'électricité, et travaille comme électricien à côté du rugby jusqu'à l'obtention de son contrat avec les Melbourne Rebels en 2019[8].
Matt Gibbon commence à jouer au rugby à XV lors de son enfance, dans le sillage de son frère aîné et sous l'impulsion de son grand-père, avec le club des Wollongbar-Alstonville Pioneers[5]. Lors de sa scolarité au Nudgee College, il joue avec l'équipe de l'établissement dans le championnat scolaire local[7]. À la même période, il représente la sélection réserve du Queensland dans le championnat national scolaire[7].
Après le lycée, il retourne vivre en Nouvelle-Galles du Sud, et rejoint le club amateur de Southern Districts, évoluant en Shute Shield[9]. Il fait ses débuts en senior lors de la saison 2015, et joue six matchs comme remplaçant lors de cette première saison[1].
Plus tard en 2015, il est retenu au sein de l'effectif des Greater Sydney Rams pour disputer le National Rugby Championship (NRC)[10]. Il dispute seulement trois matchs comme remplaçant lors de sa première saison au niveau professionnel[1]. En 2016, après une grosse saison en Shute Shield avec Southern Districts, il s'impose dans le XV de départ des Rams, disputant les sept matchs de son équipe comme titulaire[1].
En 2017, il change d'équipe de NRC, et rejoint les NSW Country Eagles[11]. Avec ce club, il reste dans l'ombre de l'international australien Paddy Ryan(en), et doit se contenter d'apparitions en sortie de banc lors de ses deux saisons[1],[12].
En , il est invité à jouer avec les Melbourne Rebels pour un match d'exhibition contre la Western Force, dans le cadre des World Series Rugby[13]. Plus tard la même année, il est invité à s'entraîner avec les Rebels, pour la présaison 2019[4]. Convaincant lors des entraînements, il obtient alors un contrat pour la saison 2019 de Super Rugby[4]. Il joue son premier match en tant que remplaçant le contre les Brumbies[14]. Il est titularisé pour la première fois trois semaines plus tard face à cette même équipe[4]. Il joue un total de seize rencontres, dont quatre titularisations, lors de cette première année en Super Rugby[1]. Auteur de bonnes performances, il prolonge son contrat en fin de saison jusqu'en 2021[15].
Plus tard en 2019, il rejoint le club de NRC des Melbourne Rising, avec qui il dispute la dernière saison de ce championnat[1].
Lors de la saison 2020 de Super Rugby, il est élu meilleur pilier gauche australien du championnat[16]. Il prolonge alors une nouvelle fois son contrat, portant son engagement avec les Rebels jusqu'en 2022[17]. Il manque toutefois une partie importante des saisons 2020 et 2021 en raison de blessures à l'épaule[18].
À la fin de la saison 2023, il prolonge son contrat jusqu'en 2025[19].
