Avant la draft 2012 de la NFL, son profil en tant que lineman défensif n'est pas très recherché par les équipes de la NFL. L'entraîneur de la ligne offensive des Seahawks de Seattle, Tom Cable, organise un entraînement privé avec Sweezy afin de travailler son jeu de pieds et sa force physique dans le but de le convertir comme lineman offensif, et croit que Sweezy a les capacités de réussir dans la NFL sous sa nouvelle position. Les Seahawks font de Sweezy leur choix avec la 225e sélection lors de la draft. Il retrouve le quarterback Russell Wilson qui a été son coéquipier avec NC State[1],[2].
Le , il signe un contrat de 5 ans pour 32,5 millions de dollars avec les Buccaneers de Tampa Bay. Il manque toutefois l'entièreté de la saison 2016 après avoir subi une opération au dos[3]. Il fait ses débuts avec les Buccaneers la saison suivante avant d'être libéré par l'équipe le [4].
Le , il retourne avec les Seahawks en signant un contrat d'un an[5]. L'année suivante, il rejoint les Cardinals de l'Arizona via un contrat de deux ans[6].
Il est placé sur la liste des blessés le avec une blessure au coude et remplacé par Justin Murray[7]. Il est activé le [8].
