Constante d'Apéry

Approximation de la constante d'Apéry (ligne bleue) par les sommes partielles de la série des 1/n³ (ligne rouge).

En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann :

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\approx 1{,}202}$^[1].

Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.

On n'en connaît pas de forme fermée.

Décimales connues

Cette constante était connue avec 128 000 026 décimales en 1998^[2], 1 000 000 000^[3] en 2003 et jusqu'à 400 000 000 000 décimales en 2015^[4].

Occurrences

Ce nombre apparaît dans diverses situations :

• dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ;
• en théorie des graphes^[5] ;
• en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ;
• en théorie des nombres : pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers strictement positifs pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à 1/ζ(k) (cf. § « Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, 1/ζ(3) ≃ 0,831907…^[6].

Irrationalité

Le nombre ζ(3) est irrationnel^[7].

Éléments de démonstration

La démonstration d'Apéry passe par une écriture en fraction continue généralisée de cette constante :

${\displaystyle \zeta (3)={\dfrac {6}{P(0)-{\dfrac {1^{6}}{P(1)-{\dfrac {2^{6}}{P(2)-{\dfrac {3^{6}}{P(3)-...}}}}}}}}}$

avec

${\displaystyle P(x)=34x^{3}+51x^{2}+27x+5.}$

En notant les réduites de la fraction ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$, on peut montrer que

${\displaystyle \left|\zeta (3)-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{1,06}}},}$

ce qui permet de conclure^[8].

On ne sait pas s'il est transcendant^[9].

Par comparaison, pour tout entier k > 0, le nombre ζ(2k) est transcendant car commensurable à π^2k (par exemple : ζ(2) = π²/6).

Notons que l'on conjecture que le nombre ${\displaystyle \zeta (3)/\pi ^{3}}$ est irrationnel, voir la suite A276120 de l'OEIS.

Représentations par des séries

Séries classiques

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[10],[11] ${\displaystyle -{\frac {4\pi ^{2}}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}}$ (avec ${\displaystyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}{\frac {(2\pi )^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}}}}$, où les ${\displaystyle {\textstyle {B_{2k}}}}$ sont les nombres de Bernoulli).

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[12] ${\displaystyle {\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\frac {8}{7}}\lambda (3)}$, où λ est la fonction lambda de Dirichlet^[13].

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[12] ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\eta (3)}$, où η est la fonction êta de Dirichlet.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[14],[15] ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n-1}}{n^{2}}}}$, où H_n est le n-ième nombre harmonique.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[16] ${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}H_{n-1}}{n^{2}}}}$.

Convergence rapide

Il est à noter que contrairement aux autres formules de ce paragraphe, la première a été déterminée dès le XIX^e siècle, en 1830, et ce par Clausen :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{4n}(2n+1)^{2}}}-{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{\binom {2n+1}{n}}(n+1)^{3}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[17] ${\displaystyle {\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{{\binom {2n}{n}}n^{3}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[18] ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(56n^{2}-32n+5)}{{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}n^{3}(2n-1)^{2}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[19] ${\displaystyle {\frac {1}{64}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!^{10}}{(2n+1)!^{5}}}\left(205n^{2}+250n+77\right)}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[20] ${\displaystyle {\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\left[(2n+1)!(2n)!n!\right]^{3}}{(4n+3)!^{3}(3n+2)!}}\left(126\,392n^{5}+412\,708n^{4}+531\,578n^{3}+336\,367n^{2}+104\,000n+12\,463\right)}$.

Autres

Les Cahiers de Ramanujan^[21] ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes^[22] :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}}$ ;

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}+1)}}}$.

Srivastava^[23] a collecté de nombreuses séries qui convergent vers ζ(3).

Représentations par des intégrales

Formules simples

La première est issue de la définition de la fonction ζ par une série et, les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$ ;

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}\,\mathrm {d} x}$.

La suivante résulte du développement de Taylor de χ₃(e^ix) en x = ±π/2, où χ_ν est la fonction chi de Legendre^{[réf. souhaitée]} :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x}$.

Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan K :

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x}$.

Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe ${\displaystyle \ln {(1-z)}}$ :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {\tan x}\,\mathrm {d} x}$

De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :

${\displaystyle \mathrm {K} =-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln {\tan x}\,\mathrm {d} x}$

Formules plus compliquées

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[24] ${\displaystyle \pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\cosh ^{2}{\frac {\pi x}{2}}}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[25] ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{1-xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=-\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1-xy)}{xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[26] ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x\ln(1-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[27] ${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln x}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[28] ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi _{2}(1)}$, et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma, de ses dérivées, et de la fonction digamma.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Apéry's constant » (voir la liste des auteurs).

1. Les 20 000 premières décimales figurent dans la suite A002117 de l'OEIS.
2. Voir les messages de Sebastian Wedeniwski et Simon Plouffe : (en) S. Wedeniwski, « Apery's constant to 128,000,026 decimal digits », 13 décembre 1998 et (en) S. Plouffe, « The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places », sur Project Gutenberg, 2001.
3. (en) Xavier Gourdon et Pascal Sebah, « The Apery's constant : ζ(3) », sur numbers.computation.free.fr,‎ 2003.
4. (en) Dipanjan Nag, « Calculated Apery’s constant to 400,000,000,000 Digit, A world record », 27 novembre 2015.
5. (en) Alan M. Frieze, « On the value of a random minimum spanning tree problem », Discrete Appl. Math., vol. 10, n^o 1,‎ 1985, p. 47-56 (DOI 10.1016/0166-218X(85)90058-7).
6. Suite  A088453 de l'OEIS.
7. Roger Apéry, « "Irrationalité de ζ2 et ζ3" », Astérisque, vol. 61,‎ 1979, p. 11-13 (lire en ligne).
8. Frédéric Laroche, Promenades mathématiques, Ellipses, 2004.
9. (en) Eric W. Weisstein, « Apéry's Constant », sur MathWorld.
10. (la) Leonhard Euler, « Exercitationes analyticae », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 17,‎ 1773, p. 173-204 (lire en ligne).
11. (en) H. M. Srivastava, « Some families of rapidly convergent series representations for the zeta functions », Taiwanese Journal of Mathematics, vol. 4, n^o 4,‎ 2000, p. 569-598 (lire en ligne), p. 571 (1.11).
12. Exercice corrigé sur Wikiversité.
13. (en) Eric W. Weisstein, « Dirichlet Lambda Function », sur MathWorld.
14. (la) Leonhard Euler, « Meditationes circa singulare serierum genus », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 20,‎ 1776, p. 140-186 (lire en ligne) (p. 152).
15. Exercice corrigé sur Wikiversité.
16. (en) Jonathan M. Borwein et David M. Bradley, « Thirty-two Goldbach variations », Int. J. Number Theory, vol. 2,‎ 2006, p. 65-103 (arXiv math/0502034), (1.5).
17. Formule trouvée par (sv) M. M. Hjortnaes, « Overføring av rekken ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}}$ til et bestemt integral », dans Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress, Lund (Suède), 1953, p. 211-213, puis redécouverte et utilisée par Apéry.
18. Trouvée par (en) Tewodros Amdeberhan, « Faster and faster convergent series for ζ(3) », Electron. J. Combin., vol. 3, n^o 1,‎ 1996 (lire en ligne), cette série donne (asymptotiquement) 1,43 nouvelles décimales correctes par terme^{[réf. souhaitée]}.
19. Trouvée par (en) Tewodros Amdeberhan et Doron Zeilberger, « Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method », Electron. J. Combin., vol. 4, n^o 8,‎ 1997 (lire en ligne), cette série donne (asymptotiquement) 3,01 nouvelles décimales correctes par terme^{[réf. souhaitée]}.
20. C'est cette formule, tirée de Amdeberhan et Zeilberger 1997, que Wedeniwski a utilisée pour son record de 1998 de calcul des décimales de cette constante. Cette série donne (asymptotiquement) 5,04 nouvelles décimales correctes par terme^{[réf. souhaitée]}.
21. (en) Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Part II, Springer, 1989, chap. 14, formules 25.1 et 25.3.
22. (en) S. Plouffe, « Identities inspired from Ramanujan Notebooks II », 21 juillet 1998.
23. Voir Srivastava 2000.
24. J. L. W. V. Jensen, « Note n^o 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses de MM. Franel et Kluyver (de) », L'Intermédiaire des mathématiciens, vol. 2,‎ 1895, p. 346–347.
25. (en) Frits Beukers (en), « A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3) », Bull. London Math. Soc., vol. 11, n^o 3,‎ 1979, p. 268-272 (DOI 10.1112/blms/11.3.268).
26. Borwein et Bradley 2006.
27. (en) Iaroslav V. Blagouchine, « Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results », The Ramanujan Journal, vol. 35, n^o 1,‎ 2014, p. 21-110 (DOI 10.1007/s11139-013-9528-5).
28. (en) M. A. Evgrafov, K. A. Bezhanov, Y. V. Sidorov, M. V. Fedoriuk et M. I. Shabunin, A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian], Moscou, Nauka, 1969, ex. 30.10.1.

Voir aussi

Articles connexes

• Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann
• Nombres premiers issus de troncature de cette constante

Bibliographie

• (en) A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland et W. B. Jones, Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, 2008 (ISBN 978-1-4020-6948-2, lire en ligne), p. 188
• (en) D. J. Broadhurst, « Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) »,‎ 1998 (arXiv math.CA/9803067)