Pyörimisliike

Pyörimisliikkeessä oleva pallo.

Pyörimisliike eli rotaatio on liikettä, jossa kappaleen jokainen osa kiertää ympyränmuotoista rataa kappaleen poikki kulkevan akselin ympäri. Tällöin kappaleen voidaan ajatella koostuvan pienistä osista, joista jokainen on ympyräliikkeessä, ja liikkeen keskipiste on tällä akselilla. Jos kappale on jäykkä eli se ei muuta muotoaan eivätkä sen eri osien väliset etäisyydet muutu, sen kaikkien kohtien kulmanopeus on pyörimisliikkeessä sama mutta nopeus on suoraan verrannollinen kunkin kohdan etäisyyteen akselista.

Pyörimisliikkeeseen liittyviä suureita ovat kulmanopeus, kulmakiihtyvyys ja liikemäärämomentti. Samoja suureita voidaan soveltaa myös ympyräliikkeeseen, joissa radan keskus on kappaleen ulkopuolella. Pyörimisliikkeeseen liittyviä suureita koskevat yhtälöt vastaavat selvästi suoraviivaisen etenemisliikkeen yhtälöitä. Massan asemesta yhtälöissä on kuitenkin käytettävä hitausmomenttia, joka riippuu paitsi kappaleen massasta myös sen muodosta.

Suoran liikkeen ja pyörimisliikkeen vastaavuudet

Suora liike	tunnus	yksikkö	Pyörimisliike	tunnus	yksikkö
Nopeus	v	m/s	Kulmanopeus (kierrosnopeus, kierrosluku, pyörimisnopeus)	ω	rad/s
Kiihtyvyys	a	m/s²	Kulmakiihtyvyys	α	rad/s²
Massa	m	kg	Hitausmomentti (inertiamomentti)	J	kg·m²
Liikemäärä	p	N·s	Pyörimismäärä (kiertoliikemäärä, liikemäärämomentti, impulssimomentti)	L	N·m·s
Voima	F	N	Voiman momentti	M	N·m

Pyörimisenergia

Oletetaan, että pyöreä kappale, pyörii akselinsa ympäri kulmanopeudella ω. Silloin kappaleen jokainen osa liikkuu ympyränmuotoista rataa kehänopeudella

${\displaystyle v(r)=\omega r}$,

missä r on osan etäisyys pyörimisakselista.

Etäisyydellä r pyörimisakselista kiitävän kappaleen osan, jonka massaa merkitään ρ, liike-energia on

${\displaystyle E_{k}(r)={\frac {1}{2}}\rho v^{2}={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}r^{2}}$.

Koko kappaleen pyörimiseen sisältyvä liike-energia saadaan laskemalla yhteen (integroimalla) sen eri etäisyyksillä olevien osien liike-energiat.

Jos ajatellaan, että suure ρ(r) kuvaa kappaleen massan jakautumista eri etäisyyksille akselista, ja integroidaan eri etäisyyksien osuudet, kokonaisenergiaksi saadaan

${\displaystyle E_{k}=\int _{0}^{R}{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\rho (r)r^{2}\,dr={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}}$,

missä R on kappaleen säde pyörimisakselista mitattuna, ja suuretta

${\displaystyle J=\int _{0}^{R}\rho (r)r^{2}\,dr}$ kutsutaan kappaleen hitausmomentiksi.

Esimerkiksi tasa-aineisen ympyränmuotoisen levyn tai umpinaisen sylinterin, jonka kokonaismassa on m ja säde R, hitausmomentti on

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}mR^{2}}$

ja umpinaisen pallon

${\displaystyle J={\frac {2}{5}}mR^{2},}$

joten liike-energiaksi saadaan pyörivälle levylle

${\displaystyle E={\frac {1}{4}}mR^{2}\omega ^{2}}$

ja pallolle

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{5}}mR^{2}\omega ^{2}}$

edellyttäen, että pyörimisakseli kulkee levyn tai pallon keskipisteen kautta.

Yhdistetty liike

Vierivällä kappaleella on sen pyörimis- eli rotaatioenergian lisäksi sen tasaiseen liikkeeseen liittyvää liike-energiaa. Tällöin liikkeeseen liittyvä kokonaisenergia on sen etenevän liike-energian ja rotaatioenergian summa. ^[1]

Tasaisella nopeudella pyörivän akselin välittämä teho

Tasaisella nopeudella pyörivän akselin välittämä teho lasketaan seuraavasti:

${\displaystyle P=M\cdot \omega ,}$

missä ${\displaystyle M=F\cdot r}$ on akselin välittämä vääntömomentti (yksikkönä Nm) ja ${\displaystyle \omega }$ on akselin kulmanopeus (yksikkö rad/s).

Rinnastus aaltoliikkeeseen

Pyörivän kiekon tai sylinterin kehänopeus voidaan kirjoittaa myös

${\displaystyle v=(2\pi r)n=sn,}$

missä n = kappaleen pyörimisnopeus (kierrosta sekunnissa) ja s on kappaleen ympärysmitta eli piiri.

Tätä on mielenkiintoista verrata aalto-opin perusyhtälöön

${\displaystyle c=\lambda f}$

jossa c on aaltoliikkeen (esim. valo- tai ääniaalto) nopeus, f on taajuus ja ${\displaystyle \lambda }$ on aallonpituus. Tämän analogian mukaan pyörimisliikkeessä taajuutta vastaa kierrosnopeus ja aallonpituutta kehän pituus.

Katso myös

• Ympyräliike
• Spin
• Hyrrävoima

Lähteet

1. rotaatioenergia ja mekaanisen energian säilyminen http://opetus.tv. Viitattu 17.3.2013.

Aiheesta muualla

• Opetus.tv: Fysiikan etäopiskeluympäristö, Pyöriminen ja gravitaatio
• Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti (video)