Vesnić opiskeli Belgradissa ja Pariisissa, väitteli vuonna 1887 lakitieteen tohtoriksi ja toimi vuodesta 1892 Belgradin yliopiston kansainoikeuden professorina. Hänet valittiin Serbian parlamenttiin ja hän toimi opetusministerinä lyhytikäisessä radikaalipuolueen hallituksessa. Vesnić vangittiin vuonna 1899 muiden Radikaalipuolueen johtajien tavoin entisen kuningas Milanin murhayrityksen jälkeen, mutta hänet armahdettiin jo seuraavana vuonna. Serbian hallitsijasuvun vaihduttua vuoden 1903 vallankaappauksessa Vesnić nimitettiin lähettilääksi Roomaan ja seuraavana vuonna Pariisiin. Hän toimi välillä parlamentin puhemiehenä ja oli yhtenä Serbian edustajana vuoden 1913 Lontoon konferenssissa. Hänet nimettiin myös Haagin pysyvän välitystuomioistuimen jäseneksi.[1]
Ensimmäisen maailmansodan aikana Vesnić toimi jällee Serbian lähettiläänä Pariisissa ja pyrki edistämään ajatusta Suur-Serbian luomisesta sodan jälkeen. Sodan jälkeisessä Pariisin rauhankonferenssissa hän oli uuden Jugoslavian valtion edustajana. Vuonna 1920 hänestä tuli koalitiohallituksen pääministeri. Vesnićin hallitus solmi elokuussa 1920 Tšekkoslovakian kanssa liittosopimuksen, joka toimi pohjana seuraavana vuonna muodostetulle pikkuententelle, sekä marraskuussa Italian kanssa Rapallon sopimuksen, jolla soviteltiin maiden väliset rajakiistat. Vesnić jätti pääministerintehtävät marraskuun 1920 vaalien jälkeen aivan vuoden lopussa, ja palasi vielä kerran lähettilääksi Pariisiin.[1]
