Wemanin isä oli Uppsalan tuomiokirkon urkuri Henry Weman. Hänet vihittiin papiksi 1958 ja toimi pappina muun muassa Sigtunassa, Skogissa (Hälsningland) ja Uppsalassa. Vuodesta 1964 hän oli Sigtunan seurakunnan kirkkoherra ja vuosina 1985–1986 Ruotsin kirkon jumalanpalveluselämän ja evankelioimistoimikunnan (Svenska kyrkans nämnd för gudstjänstliv och evangelisation) johtaja. Vuonna 1986 hänet valittiin Luulajan hiippakunnan piispaksi ja 1993 Ruotsin kirkon arkkipiispaksi Bertil Werkströmin jälkeen. Weman jäi eläkkeelle 1997 ja hänen seuraajakseen valittiin K. G. Hammar.lähde?
Weman väitteli vuonna 2006 teologian tohtoriksi. Hänen väitöskirjansa aiheena oli kirkkorakennuksen uudistaminen muuttuneiden liturgisten vaatimusten mukaan[5], ja hän käsitteli erityisesti Sigtunan Mariankirkkoa.[6]
Teokset (valikoima)
Nutida gudstjänst och medeltida kyrkorum : förhållandet mellan det sena 1900-talets liturgireform och det medeltida gudstjänstrummet i Svenska kyrkan (tohtorinväitöskirja) 2006
Jerk Alton: Nutida kyrkorumsarkitekt, yhdessä Jerk Altinin ja Tord Harlinin kanssa 2009
Kyrka i olika meningar : kortklippta texter med ecklesiologiska kommentarer, yhdessä Sven-Erik Broddin kanssa, Artos & Norma 2012 ISBN 978-91-7580-615-0
Liturgi i Svenska kyrkan : i ord och bild från då och nu, yhdessä Sven-Erik Broddin kanssa, Artos 2020 ISBN 978-91-7777-101-2
↑Gunnar Weman: Nutida gudstjänst och medeltida kyrkorum. Förhållandet mellan det sena 1900-talets liturgireform och det medeltida gudstjänstrummet i Svenska kyrkan. s. 32, 197-250. Artos, 2006. ISBN 91 7580 316-X(ruotsiksi)