Nyberghin vanhemmat olivat puuseppä Gustaf Nybergh ja Maria Sofia Erikintytär. Hän pääsi ylioppilaaksi 1868 ja suoritti yleisen oikeustutkinnon 1876 ja sai varatuomarin arvon 1879. Nybergh oli Viipurin hovioikeuden palveluksessa ylimääräisenä virkamiehenä 1879–1881, kanslistina 1881–1885, ylimääräisenä viskaalina 1885, suomen kielen kääntäjänä ja notaarina 1885–1888, kanneviskaalina 1888–1890 ja asessorina 1890–1898. Hän oli senaatin lainvalmistelukunnan nuorempi jäsen vuosina 1892–1898, 1900 sekä 1909–1914, senaatin oikeusosaston jäsen 1898–1900 ja talousosaston jäsen 1899. Nybergh oli ensimmäisellä sortokaudella Privatbankenin notariaattiosaston johtajana 1901–1903 ja maasta karkotettuna 1903–1904.
Palattuaan Suomeen Nybergh oli Mechelinin senaatin jäsen ja oikeustoimituskunnan päällikkö vuosina 1905–1909, Suomen itsenäistyttyä hän toimi senaatin oikeusosaston varapuheenjohtajana 1917–1918 ja korkeimman oikeuden presidenttinä 1918–1920.
Nybergh kuului jäsenenä patenttilakikomiteaan 1889, oikeudenkäyntilaitosta uudistavaan neuvottelukuntaan 1894, valtiopäiväjärjestystä uudistavaan komiteaan 1905–1906 sekä niin sanottuun Haritonovin komiteaan 1909. Nybergh oli myös Viipurin rahatoimikamarin sihteerinä ja asiamiehenä 1880–1888.
August Nybergh oli naimisissa vuodesta 1882 lähtien Aina Sofia Augusta Schybergsonin kanssa. Heidän poikansa oli kemisti ja filosofian tohtori Bertil Ragnar Nybergh (1896–1954), joka toimi Oy Keskuslaboratorion toimitusjohtajana.
