*-جبر

در ریاضیات، و به طور خاص در جبر مجرد، یک *-جبر (یا جبر پیچشی (به انگلیسی: Involutive Algebra)، که به صورت "جبر ستاره ای"، "استار-الجبرا"، "استار-جبر" و... هم خوانده می شود) یک ساختار ریاضیاتیست که شامل حلقه های پیچشی ${\displaystyle R}$ و ${\displaystyle A}$ است که ${\displaystyle R}$ جابجایی و ${\displaystyle A}$ دارای ساختار جبر شرکتپذیر بر روی ${\displaystyle R}$ است. جبرهای پیچشی تعمیم دهنده ایده دستگاه اعداد مجهز به مزدوج گیری است مثل: مزدوج مختلط، ترانهاده مزدوج، عملگرهای خطی روی فضای هیلبرت و الحاق هرمیتی. با این حال، ممکن است که یک جبر هیچ پیچشی نپذیرد (یعنی نتوان بر روی آن هیچ پیچشی تعریف نمود).

تعاریف

*-حلقه

در ریاضیات، یک *-حلقه، حلقه ای است که مجهز به نگاشت ${\displaystyle *:A\rightarrow A}$ می باشد، که یک پاد-خودریختی و یک پیچش است.

به طور دقیق تر، * باید خواص زیر را برای تمام ${\displaystyle x,y\in A}$ارضاء نماید:^[۱]

• ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$
• ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$
• ${\displaystyle 1^{*}=1}$
• ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x}$

به این حلقه حلقه پیچشی هم می گویند. توجه کنید که اصل سوم در اصل اضافی است، چون اصل دوم و چهارم نتیجه می دهند که ${\displaystyle 1^{*}}$ نیز یک همانی ضربی است و همانی ها منحصر به فردند.

عناصری چون x* = x را خود-الحاقی خوانند.^[۲]

مثال های کهن الگو از یک *-حلقه، میدان اعداد مختلط و اعداد جبری مجهز به مزدوج مختلط به عنوان پیچش اند. می توان فرم سسکوئی-خطی روی هر *-حلقه تعریف کرد.

همچنین، می توان *-نسخه هایی از اشیاء جبری چون ایده‌آل، زیر حلقه با شرط *-ناوردایی: ${\displaystyle x\in I\rightarrow x^{*}\in I}$ و ... را نیز تعریف کرد.

*-جبر

یک *-جبر چون ${\displaystyle A}$، یک *-حلقه است،^[۳] که مجهز به پیچش * بوده چنان که جبر شرکت پذیر روی *-حلقه جابجایی ${\displaystyle R}$ با پیچش ` باشد، چنان که داشته باشیم:

${\displaystyle (rx)^{*}=r'x^{*}\forall {r}\in R,x\in A}$^[۴]

*-حلقه پایه اغلب اعداد مختلط اند (که * به عنوان مزدوجه مختلط عمل می کند).

از اصول موضوعه ها نتیجه می شود که * روی ${\displaystyle A}$ در ${\displaystyle R}$ مزدوج-خطی است، یعنی برای ${\displaystyle \lambda ,\mu \in R}$ و ${\displaystyle x,y\in A}$:

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda 'x*+\mu 'y*}$

یک *-همریختی ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$، همریختی جبری است، یعنی با پیچش های ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ سازگار است:

• برای هر ${\displaystyle a\in A}$ داریم ${\displaystyle f(a^{*})=f(a)^{*}}$^[۲]

فلسفه *-عمل

* -عمل روی *-حلقه مشابه عمل مزدوج گیری روی اعداد مختلط است. *-عمل روی *-جبر مشابه الحاق گیری روی جبرهای ماتریسی مختلط است.

نمادگذاری

پیچش * یک عملگر تکی است به صورت های زیر نمایش داده می شوند:

x ↦ x*،

x ↦ x^∗ (TeX: x^*)

اما به صورت "x*" نوشته نمی‌شود؛ مقاله ستاره را برای جزئیات بیشتر ببینید.

پانویس

1. Weisstein, Eric W. (2015). "C-Star Algebra". Wolfram MathWorld.
2. Baez, John (2015). "Octonions". Department of Mathematics. University of California, Riverside. Archived from the original on 25 March 2015. Retrieved 27 January 2015.
3. بسیاری از تعاریف الزامی برای یک دار بودن *-جبر ندارند، یعنی *-جبر می تواند صرفاً یک رونگ باشد.
4. star-algebra in nLab

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «*-Algebra». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.