Ta alustas klubikarjääri Tšehhi klubis Chomutovi Piráti, debüteerides Tšehhi kõrgliigas hooajal 2013–14.
2014. aastal valis Anaheim Ducks ta NHL-i draft 'is 205. valikuna. 2015. aasta mais sõlmis ta Ducksiga kolmeaastase lepingu. Hooajal 2015–16 mängis ta American Hockey League'is Ducksi tütarklubis San Diego Gulls. Ducksi meeskonnas debüteeris ta NHL-is hooajal 2016–17. Esimese värava lõi ta liigas 1. detsembril 2016 mängus Vancouver Canucksi vastu. Debüüthooajal kogus Kaše NHL-is viis väravat ja kümme väravasöötu. Hooajal 2017–18 tegi ta NHL-is 20+18 ning see on jäänud seni tema kõige edukamaks hooajaks.
2020. aasta veebruaris kaubeldi Kaše Boston Bruinsile. 2021. aasta juulis sõlmis ta üheaastase lepingu Maple Leafsiga.[1]
Tema noorem vend David Kaše on samuti jäähokimängija.
.jpg)
