2014. aastal valis Blues ta NHL-i draft 'is 33. valikuna.
Hooajal 2015–16 suundus ta mängima Chicago WolvesiAmerican Hockey League'is. Bluesi meeskonnas tegi ta NHL-is debüüdi hooajal 2016–17. Esimese värava lõi ta liigas 7. veebruaril 2017 mängus Ottawa Senatorsi vastu. 2019. aastal võitis ta Bluesiga Stanley karika. Barbašovi resultatiivseim hooaeg Bluesi oli 2021/22, mil ta lõi 26 väravat ja andis 34 väravasöötu.
Kuna Blues hooaja 2022/23 teises pooles väljalangemismängude koha eest ei võidelnud, soovis Barbašov klubist lahkuda. 2023. aasta veebruaris kaubeldi ta Vegas Golden Knightsi.[1] Kohe esimesel hooajal võitis ta seal Golden Knightsiga Stanley karika, mis oli Barbašov karjääri teine.
