Se tiene un total de diez monomios; y por lo tanto, las curvas cúbicas forman un espacio proyectivo de dimensión 9 sobre cualquier campo numérico dado K. Cada punto P impone una condición lineal única en F, si se pide que C pase a través de P. Por lo tanto, se puede encontrar alguna curva cúbica a través de un conjunto cualquiera de nueve puntos dados, que pueden ser degenerados y pueden no ser únicos, pero serán únicos y no degenerados si los puntos están en posición general. Esta propiedad se puede comparar con los dos puntos que determinan una recta y con los cinco puntos que determinan una cónica. Si dos cúbicas pasan por un conjunto dado de nueve puntos, entonces, de hecho, un haz de cúbicas también lo hace, y los puntos satisfacen propiedades adicionales; tal como establece el teorema de Cayley-Bacharach.
Cúbica singular y2 = x2 ⋅ (x + 1). Se puede parametrizar como t ↦ (t2 − 1, t ⋅ (t2 − 1))
Una curva cúbica puede tener un punto singular, en cuyo caso tiene una parametrización en términos de una recta proyectiva. De lo contrario, se sabe que una curva cúbica no singular tiene nueve puntos de inflexión, sobre un campo cerrado algebraicamente como los números complejos. Esto se puede demostrar tomando la versión homogénea de la matriz hessiana, que define nuevamente una cúbica, y se cruza con C. Las intersecciones se contabilizan mediante el teorema de Bézout. Sin embargo, solo tres de estos puntos pueden ser reales, de modo que los otros no pueden verse en el plano proyectivo real dibujando la curva. Los nueve puntos de inflexión de una cúbica no singular tienen la propiedad de que cada recta que pasa por dos de ellos contiene exactamente tres puntos de inflexión.
Isaac Newton estudió los puntos reales de las curvas cúbicas. Los puntos reales de una cúbica proyectiva no singular se localizan en uno o dos 'óvalos'. Uno de estos óvalos cruza cada recta proyectiva real y, por lo tanto, nunca está delimitado cuando la cúbica se dibuja en el plano euclidiano, y aparece como una o tres ramas infinitas, que contienen los tres puntos de inflexión reales. El otro óvalo, si existe, no contiene ningún punto de inflexión real y aparece como un óvalo o como dos ramas infinitas. Al igual que con las secciones cónicas, una recta corta este óvalo en, como máximo, dos puntos.
Los puntos singulares de una curva cúbica plana irreducible son bastante limitados: un punto doble o una cúspide. Una curva cúbica plana reducible es bien una cónica y una recta, o bien tres rectas, y en consecuencia, tiene dos puntos dobles o un tacnodo (si es una cónica y una recta), o hasta tres puntos dobles o un punto triple simple (líneas concurrentes) si se trata de tres rectas.
Curvas cúbicas en el plano triangular
Supóngase que ABC es un triángulo con longitudes de sus lados a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |.
En relación con ABC, muchas cúbicas con nombre pasan por puntos conocidos. Los ejemplos que se muestran a continuación utilizan dos tipos de coordenadas homogéneas: trilineales y baricéntricas.
Para convertir de coordenadas trilineales a baricéntricas una ecuación cúbica, se puede utilizar la sustitución siguiente:
x ↦ bcx, y ↦ cay, z ↦ abz;
y para convertir de baricéntricas a trilineales, utilícese
x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.
Muchas ecuaciones de curvas cúbicas tienen la forma
f (a, b, c, x, y, z) + f (b, c, a, y, z, x) + f (c, a, b, z, x, y) = 0.
En los ejemplos mostrados a continuación, tales ecuaciones se escriben de manera más sucinta en "notación de suma cíclica". Así:
[suma cíclica f (x, y, z, a, b, c)] = 0.
Las cúbicas listadas a continuación se pueden definir en términos del conjugado isogonal, denotado por X*, de un punto X que no está en una recta lateral de ABC. A continuación se muestra una construcción de X*. Sea LA el reflejo de la línea XA sobre la bisectriz del ángulo interno del ángulo A; definiéndose LB y LC de forma análoga. Entonces las tres líneas reflejadas coinciden en X*. En coordenadas trilineales, si X = x:y:z, entonces X* = 1/x:1/y:1/z.
Cúbica de Neuberg
Ecuación trilineal: [suma cíclica (cos A − 2 cos B cos C)x(y2 − z2)] = 0
La cúbica de Neuberg (llamada así por Joseph Jean Baptiste Neuberg) es el lugar geométrico de un punto X, de modo que X* está en la recta EX, donde E es el punto infinito de Euler (X(30) en la Enciclopedia de Centros del Triángulo). Además, esta cúbica es el lugar geométrico de X, de modo que el triángulo XAXBXC es una perspectiva de ABC, donde XAXBXC es el reflejo de X en las líneas BC, CA, AB, respectivamente.
La cúbica de Neuberg pasa por los siguientes puntos: incentro, circuncentro, ortocentro, ambos puntos de Fermat, ambos puntos isodinámicos, el punto de infinito de Euler, otros centros triangulares, los excentros, los reflejos de A, B, C en las líneas laterales de ABC, y los vértices de los seis triángulos equiláteros erigidos sobre los lados de ABC.
La cúbica de Thomson es el lugar geométrico de un punto X tal que X* está en la línea GX, donde G es el centroide.
La cúbica de Thomson pasa por los siguientes puntos: incentro, centroide, circuncentro, ortocentro, punto simétrico, otros centros triangulares, los vértices A, B, C, los excentros, los puntos medios de los lados BC, CA, AB y los puntos medios de las alturas de ABC. Para cada punto P en la cúbica pero no en una línea lateral de la cúbica, el conjugado isogonal de P también está en la cúbica.
La cúbica de Darboux es el lugar geométrico de un punto X, de modo que X* está en la línea LX, donde L es el punto de De Longchamps. Además, esta cúbica es el lugar geométrico de X, de modo que el triángulo podal de X es el ceviano de algún punto (que se encuentra en la cúbica de Lucas). Además, esta cúbica es el lugar geométrico de un punto X tal que el triángulo podal de X y el triángulo anticeviano de X se hallan en perspectiva; el centro de la perspectiva se encuentra en la cúbica de Thomson.
La cúbica de Darboux atraviesa el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el punto de Longchamps, otros centros triangulares, los vértices A, B, C, los excentros y las antípodas de A, B, C en el circuncírculo. Para cada punto P en la cúbica pero no en una línea lateral de la cúbica, el conjugado isogonal de P también está en la cúbica.
La cúbica de Napoleón-Feuerbach es el lugar geométrico de un punto X* que está en la línea NX, donde N es el centro de nueve puntos (N = X(5) en la Enciclopedia de Centros del Triángulo).
La cúbica de Napoleón-Feuerbach pasa a través del incentro, el circuncentro, el ortocentro, los puntos 1 y 2 de Napoleón, otros centros triangulares, los vértices A, B, C, los excentros, las proyecciones del centroide sobre las alturas y los centros de los 6 triángulos equiláteros erigidos sobre los lados de ABC.
La cúbica de Lucas es el lugar geométrico de un punto X tal que el triángulo ceviano de X es el triángulo podal de algún punto; el punto está en la cúbica de Darboux.
Las cúbicas de Lucas pasan a través del centroide, ortocentro, punto de Gergonne, punto de Nagel, punto de Longchamps, otros centros de triángulo, los vértices del triángulo anticomplementario, y los focos de la circunelipse de Steiner.
Sea A′B′C′ el primer triángulo de Brocard. Para el punto arbitrario X, sean XA, XB, XC las intersecciones de las rectas XA', XB', XC' con las rectas laterales BC, CA, AB, respectivamente. La primera cúbica de Brocard es el lugar geométrico de X para el cual los puntos XA, XB, XC son colineales.
La primera cúbica de Brocard pasa a través del centroide, el punto simmediano, el punto de Steiner, otros centros de triángulos y los vértices de los triángulos 1º y 3º de Brocard.
La segunda cúbica de Brocard es el lugar geométrico de un punto X para el cual el polo de la línea XX* en la circuncónica a través de X y X* se encuentra en la línea del circuncentro y el punto simmediano (es decir, el eje de Brocard).
Lal segunda cúbica de Brocard pasa a través del centroide, el punto simmediano, ambos puntos de Fermat, ambos puntos isodinámicos, el punto de Parry, otros centros de triángulos y los vértices de los triángulos 2º y 4º de Brocard.
La primera cúbica de áreas iguales es el lugar geométrico de un punto X, de modo que el área del triángulo ceviano de X es igual al área del triángulo ceviano de X*. Además, esta cúbica es el lugar geométrico de X para el cual X* está en la recta S*X, donde S es el punto de Steiner. (S = X(99) en la Enciclopedia de Centros del Triángulo).
La primera cúbica de áreas iguales pasa a través del incentro, el punto de Steiner, otros centros triangulares, los puntos de Brocard primero y segundo y los excentros.
Para cualquier punto X = x:y:z (trilineales), sean XY = y:z:x y XZ = z:x:y. La segunda cúbica de áreas iguales es el lugar geométrico de X, de modo que el área del triángulo ceviano de XY es igual al área del triángulo ceviano de XZ.
La segunda cúbica de áreas iguales pasa a través del incentro, el centroide, el punto simmediano y los puntos indexados en la Enciclopedia de Centros del Triángulo como X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053) y otros.
Hemos de conocer al menos 9 puntos que están sobre ella. Sabiendo las coordenadas x,y de cada punto, lo sustituimos en la ecuación anterior y obtenemos 9 ecuaciones con 9 incógnitas. Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones por Gauss. El coeficiente A lo suponemos igual a 1, ya que dividiendo toda la ecuación por él, no necesitaremos calcularlo, entonces x³ lo despejamos negativo y lo consideramos término independiente para solucionar el sistema de ecuaciones.
Para trazar la gráfica vamos dando valores a x. Para cada valor de x obtendremos un polinomio cúbico en y, por lo que obtendremos 3 resultados, descartando los valores imaginarios o complejos, que estarían en el infinito.
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