Espacio afín

No hay puntos distinguidos por definición

En matemáticas, particularmente en geometría, un espacio afín es una estructura que surge al olvidar el punto distinguido (origen) de un espacio vectorial.

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la geometría euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides.[cita requerida] El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Dado un conjunto no vacío diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial si se tiene la siguiente aplicación:[a]

Visualización del orden de los puntos para o como origen y destino de una traslación.

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación es biyectiva, es decir:
2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:

Los elementos de se llaman puntos.[b]

Se designa al vector por la notación , así la propiedad 2 se escribe como:

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Coordenadas

Hay dos tipos de sistema de coordenadas fuertemente relacionados que pueden definirse en espacios afines.

Coordenadas baricéntricas

Sea A un espacio afín de dimensión n sobre un cuerpo k, y sea una base afín de A. Las propiedades de una base afín implican que para cada x en A existe una (n + 1)-tupla única de k elementos tal que

y

Las se denominan coordenadas baricéntricas de x sobre la base afín . Si los xi se consideran cuerpos que tienen pesos (o masas) , el punto x es, por tanto, el baricentro de los xi, y esto explica el origen del término "coordenadas baricéntricas".

Las coordenadas baricéntricas definen un isomorfismo afín entre el espacio afín A y el subespacio afín de kn + 1 definido por la ecuación .

Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando solo sumas finitas. Esto significa que para cada punto, solo un número finito de coordenadas son distintas de cero.

Coordenadas afines

Un marco afín de un espacio afín consta de un punto, llamado origen, y de una base del espacio vectorial asociado. Más precisamente, para un espacio afín A con un espacio vectorial asociado , el origen o pertenece a A, y la base lineal es una base (v1, ..., vn) de (para simplificar la notación, se considera solo el caso de dimensión finita, considerando que el caso general es similar).

Para cada punto p de A, existe una secuencia única de elementos del cuerpo base tal que

o equivalentemente

Las se denominan coordenadas afines de p sobre el marco afín (o, v1, ..., vn).

Ejemplo: En geometría euclídea, las coordenadas cartesianas son coordenadas afines relativas a un marco ortonormal, es decir, un marco afín (o, v1, ..., vn) tal que (v1, ..., vn) es una base ortonormal.

Relación entre coordenadas baricéntricas y afines

Las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines están fuertemente relacionadas y pueden considerarse equivalentes.

De hecho, dado un marco baricéntrico

se deduce inmediatamente el marco afín

y si

son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre el marco baricéntrico, entonces las coordenadas afines del mismo punto sobre el marco afín son

Por el contrario, si

es un marco afín, entonces

es un marco baricéntrico. Si

son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son

Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son casi equivalentes. En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que involucran menos coordenadas que sean independientes. Sin embargo, en situaciones donde los puntos importantes del problema estudiado son afínmente independientes, las coordenadas baricéntricas pueden conducir a un cálculo más simple, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo del triángulo

Los vértices de un triángulo no plano forman una base afín del plano. Las coordenadas baricéntricas permiten una fácil caracterización de los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias:

Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Las rectas que contienen las aristas son los puntos que tienen una coordenada cero. Las aristas mismas son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. El interior del triángulo son los puntos cuyas coordenadas son todas positivas. Las medianas son los segmentos cuyos puntos tienen dos coordenadas iguales, y el centroide es el punto de coordenadas (1/3, 1/3, 1/3).

Cambio de coordenadas

Caso de coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas se cambian fácilmente de una base a otra. Sean y bases afines de A. Por cada x en A hay alguna tupla para la cual

De manera similar, para cada de la primera base, ahora se tiene en la segunda base

para alguna tupla . En consecuencia, se puede reescribir la expresión dada en la primera base como una dada en la segunda haciendo que

obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla .

Caso de coordenadas afines

Las coordenadas afines también se cambian fácilmente de una base a otra. Sean , y , marcos afines de A. Para cada punto p de A, existe una secuencia única de elementos del cuerpo base tal que

y de manera similar, por cada de la primera base, ahora se tiene en la segunda base que

para la tupla y la tupla . Ahora, se puede reescribir la expresión en la primera base referida a la segunda como

obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla .


Propiedades elementales

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados y puntos cualesquiera en un espacio afín .

Tenemos:

.

entonces como es biyectiva, se tiene que .

.

(regla del paralelogramo).

Directo a partir de

(relación de Chasles generalizada)
Inductivamente se aplica que

Traslaciones

Dado un espacio afín sobre mediante y un vector , una traslación de vector en es una aplicación dada por:

Observaciones:

Se puede escribir como que está bien definida por ser biyectiva.

Propiedades

Dados los vectores se tiene:

y por tanto única por ser una aplicación.

Proposición

Un espacio afín sobre queda univocamente determinado por el conjunto:[1]

es aplicación

si cumple:

a)
b)
Demostración
Sea la aplicación dada por b):
  • ya que:
,
además
  • es biyectiva, es decir, por definición equivale a tomar es única por ser una aplicación.

Observación:

es el conjunto de todas las traslaciones ya que
Un espacio afín se designa por la terna o según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades

es biyectiva y

Si entonces

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Si
Por la propiedad b)

Ejemplos:

Los espacios vectoriales son espacios afines sobre sí mismos.[2]
Como mera distinción se nota como espacio vectorial y para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación como:

Esta aplicación cumple las dos condiciones:

1) es biyectiva ya que

2)

Por tanto es un espacio afín .

Observaciones
Traslación de vector en el punto Traslación de vector y Traslación de un vector a
Dados dos espacios afínes y , entonces también es un espacio afín la terna:[3]
donde

Notación

Se usa como notación algebraica de :[4]

Consistencia de la notación
En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos, y , más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de estos elementos: como vector, como punto extremo de y como punto origen de , también:
  • es consecuencia de que es una aplicación, es decir,
  • es consecuencia de que es biyectiva, es decir,
  • igual que antes,

lo cual justifica la notación.

Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo por vectores:

de uso puramente cuantitativo, se tiene que:[5]

  • Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir:
es un vectore si
  • Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir:
es un punto si

No queda definido un sentido para el resto de casos.

  • Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afín

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado un espacio afín sobre mediante y un subespacio vectorial. Se espera que sea un espacio afín sobre con por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2) es heredado del espacio afín
1) es biyectiva, es decir:
de donde se deduce que y por tanto solo se ha de verificar que para cualquier , es decir, ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.[6]

Dado un espacio afín sobre , y un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por y dirección al conjunto tal que:

Dados diremos que pertenecen a un mismo espacio de dirección si .

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación y se comprueban:
Propiedad reflexiva:
Dado un elemento se tiene que
Propiedad de simetría:
Dados dos elementos se tiene que si entonces es decir
Propiedad transitiva:
Dados tres elementos se tiene que si y entonces es decir

Aplicación entre espacios afines

Véase también

Notas al pie

  1. Es común denominar a como espacio director, también se define como "espacio afín sobre " denotado por la terna en Máximo Anzola o "espacio afín sobre " en M. Castellet
  2. Las parejas de elementos de , esto es, los elementos de son llamados «bipuntos»[cita requerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».

Referencias

  1. En M. Castellet se puede encontrar como proposición 2.2 pg 187
  2. En Marcel Berger se puede encontrar otra presentación de este ejemplo 2.2.1 pg 34
  3. En Marcel Berger se puede encontrar como ejemplo 2.2.2 pg 34
  4. En M. Castellet se puede encontrar como parte de la definición de variedad lineal tema IX.3 pg 187 y tema IX.8 pg 202.
  5. En M. Castellet se puede encontrar en el tema IX.6 pg 194.
  6. En M. Castellet se puede encontrar su equivalente en el tema IX.3 pg 189.

Bibliografía

  • Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.
  • Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.
  • Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.
  • J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.

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