Νόμος των Μπιό-Σαβάρ

Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ (Biot- Savart) είναι μια εξίσωση του ηλεκτρομαγνητισμού που περιγράφει το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής ${\displaystyle \mathbf {B} }$ (επίσης καλούμενο "ένταση του μαγνητικού πεδίου") μέσω του μέτρου και της διεύθυνσης του ηλεκτρικού ρεύματος, της απόστασης από το ηλεκτρικό ρεύμα, και της μαγνητικής διαπερατότητας.

Η σημασία του νόμου των Μπιό-Σαβάρ έγκειται στο ότι είναι ένας νόμος αντίστροφου τετραγώνου, που αποτελεί λύση στο νόμο του Αμπέρ. Είναι επίσης λύση της εξίσωσης στροβιλότητας: ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$, όπου το ${\displaystyle \mathbf {A} }$ μπορεί να θεωρηθεί ως το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό του ${\displaystyle \mathbf {B} }$. Παρέχει λοιπόν τη λύση του πεδίου ${\displaystyle \mathbf {B} }$ στις εξισώσεις του Μάξγουελ, όπως ακριβώς ο νόμος του Κουλόμπ παρέχει τη λύση του πεδίου ${\displaystyle \mathbf {E} }$.

Η ίδια εξίσωση, και με την ίδια ονομασία, χρησιμοποιείται επίσης στην αεροδυναμική για τη μοντελοποίηση του πεδίου ταχυτήτων στη περιοχή γύρω από μία δίνη (vortex)^{[1] [2] [3]}.

Εισαγωγή

Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ είναι τόσο θεμελιώδης για τη μαγνητοστατική, όσο είναι ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτροστατική.

Πιο συγκεκριμένα, εάν ορίσουμε ένα απειροστό στοιχείο ρεύματος

${\displaystyle Id\mathbf {l} ,}$

τότε το αντίστοιχο διαφορικό στοιχείο του μαγνητικού πεδίου είναι

${\displaystyle d\mathbf {B} =K_{m}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}}$

όπου

${\displaystyle K_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,}$, όπου ${\displaystyle \mu _{0}}$ είναι η μαγνητική σταθερά,

${\displaystyle I\mathbf {} }$ είναι το ρεύμα, το οποίο μετριέται σε Αμπέρ,

${\displaystyle d\mathbf {l} }$ είναι το διαφορικό διάνυσμα μήκους του στοιχείου ρεύματος,

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο που υπολογίζεται το πεδίο Β,

${\displaystyle r\mathbf {} }$ είναι η απόσταση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο του πεδίου Β.

Μορφές

Γενικά

Στη μαγνητοστατική, το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστή η πυκνότητα ρεύματος ${\displaystyle \mathbf {J} }$:

${\displaystyle \mathbf {B} =K_{m}\int {{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dv}}$

όπου

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\mathbf {r} \over r}}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του ${\displaystyle \mathbf {r} }$ και

${\displaystyle dv}$ = είναι το διαφορικό στοιχείο όγκου.

Συνεχές ομογενές ρεύμα

Στην ειδική περίπτωση ενός σταθερού, ομογενούς ρεύματος ${\displaystyle \mathbf {I} }$, το μαγνητικό πεδίο ${\displaystyle \mathbf {B} }$ είναι

${\displaystyle \mathbf {B} =K_{m}I\int {\frac {d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}}$

Σημειακό φορτίο με σταθερή ταχύτητα

Στην ειδική περίπτωση ενός σημειακού φορτισμένου σωματιδίου ${\displaystyle q\mathbf {} }$ που κινείται με σταθερή ταχύτητα ${\displaystyle \mathbf {v} }$, η παραπάνω εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο παίρνει τη μορφή:

${\displaystyle \mathbf {B} =K_{m}{\frac {q\mathbf {v} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}}$

Μικροσκοπική κλίμακα

Στη μικροσκοπική κλίμακα, ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ γίνεται

${\displaystyle \mathbf {H} =\epsilon \mathbf {v} \times \mathbf {E} }$

όπου η λύση στο ${\displaystyle \mathbf {E} }$ είναι η δύναμη Κουλόμπ, και όπου

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$

οπότε,

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} }$

Δείτε επίσης

Πρόσωπα

• Ζαν-Μπατίστ Μπιό
• Φελίξ Σαβάρ
• Αντρέ Μαρί Αμπέρ
• Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ

Ηλεκτρομαγνητισμός

• Εξισώσεις Μάξουελ
• Νόμος του Αμπέρ
• Μαγνητισμός
• Νόμος του Κουλόμπ

Πηγές

• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3η έκδοση). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. 

Παραπομπές

1. εισαγωγή στην αεροδυναμική (παρουσίαση στα αγγλικά)
2. «λύσεις της εξίσωσης Laplace σε 3D». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 16 Ιανουαρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 22 Δεκεμβρίου 2009. 
3. «"απόδειξη" του νόμου Biot-Savart στην αεροδυναμική». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 5 Ιανουαρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 22 Δεκεμβρίου 2009. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Electromagnetism Αρχειοθετήθηκε 2011-06-03 στο Wayback Machine., B. Crowell, Fullerton College
• MISN-0-125 The Ampere-Laplace-Biot-Savart Law (PDF file) by Orilla McHarris and Peter Signell for Project PHYSNET.