Νόμος του Κουλόμπ

Γραφική απεικόνιση του Νόμου του Κουλόμπ.

Ο Νόμος του Κουλόμπ που διατυπώθηκε από τον Γάλλο φυσικό Σαρλ Ογκυστέν ντε Κουλόμπ, εκ του οποίου έλαβε και το όνομα, αναφέρεται στην ηλεκτροστατική, και είναι αυτός που παρέχει το μέτρο της ασκούμενης κάθε φορά δύναμης μεταξύ δύο ηλεκτρικών φορτίων.

Ο νόμος

Μεταξύ φορτισμένων σωματιδίων που βρίσκονται ακίνητα (ή σχεδόν ακίνητα), αναπτύσσονται ηλεκτρικές δυνάμεις που προκαλούνται από αυτά και ονομάζονται ηλεκτροστατικές. Η ηλεκτροστατική δύναμη μεταξύ φορτίων με το ίδιο πρόσημο είναι απωστική, ενώ μεταξύ φορτίων με αντίθετο πρόσημο είναι ελκτική.

Ο νόμος του Κουλόμπ διατυπώνεται ως εξής:

Το μέτρο της ηλεκτρικής δύναμης, την οποία ένα σωματίδιο ${\displaystyle q_{1}}$ ασκεί σε ένα άλλο ${\displaystyle q_{2}}$, είναι ευθέως ανάλογο προς το γινόμενο των φορτίων τους, και αντιστρόφως ανάλογο προς το τετράγωνο της μεταξύ τους απόστασης ${\displaystyle r}$.

Η μαθηματική διατύπωση του νόμου του Κουλόμπ είναι η εξής:

${\displaystyle F_{c}=k{\frac {|q_{1}\cdot q_{2}|}{r^{2}}}}$

Η διεύθυνση της δύναμης είναι κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα δύο σωματίδια, ενώ με ${\displaystyle k\,}$ συμβολίζεται η σταθερά αναλογίας η οποία ονομάζεται και ηλεκτροστατική σταθερά και ισούται με

${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\approx 8.9875\times 10^{9}\,\mathrm {N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}} }$

όπου ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ είναι μια σταθερά η οποία ονομάζεται απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού και έχει τιμή στο S.I. :

${\displaystyle \epsilon _{0}=8,85\cdot 10^{-12}\ C^{2}\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}}$

Όταν όμως παρεμβάλλεται μονωτικό υλικό μεταξύ των φορτίων με σχετική διηλεκτρική σταθερά ${\displaystyle \epsilon _{r}}$, τότε η τιμή που παίρνει η σταθερά ${\displaystyle k}$ δίνεται από τον τύπο:

${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}\cdot \epsilon _{r}}}}$

Ηλεκτροστατική απωστική δύναμη μεταξύ δύο άνισων φορτίων. Ασκείται δύναμη ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς στα δύο φορτία.

Ανεξάρτητα από το πόσο είναι το φορτίο ή η μάζα καθενός από τα ${\displaystyle q_{1}}$ και ${\displaystyle q_{2}}$, το μέτρο της δύναμης που ασκεί το πρώτο στο δεύτερο και το μέτρο της δύναμης που ασκεί το δεύτερο στο πρώτο είναι ίσα.

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, όταν τα φορτισμένα σωματίδια είναι παραπάνω από δύο, η ολική δύναμη που δέχεται ένα σωματίδιο είναι το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που θα του ασκούσε καθένα από τα υπόλοιπα φορτία ξεχωριστά.

Κάθε φορτισμένο σώμα είναι η αιτία που δημιουργείται ένα ηλεκτρικό πεδίο στο χώρο γύρω από αυτό. Μάλιστα, όταν θέλουμε να διαπιστώσουμε αν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο σε κάποιο σημείο, τοποθετούμε ένα φορτισμένο σώμα, που αποκαλούμε δοκιμαστικό φορτίο (υπόθεμα) , σε εκείνο το σημείο. Αν στο δοκιμαστικό φορτίο επιδράσει ηλεκτρική δύναμη, τότε γνωρίζουμε πως σε εκείνη την περιοχή υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο.

Ο γενικευμένος νόμος του Κουλόμπ

Ο νόμος του Κουλόμπ μπορεί να γενικευτεί κατάλληλα ώστε να περιγράφει τις δυνάμεις μεταξύ δύο μη σημειακών κατανομών φορτίου. Αν θεωρήσουμε δύο κατανομές φορτίου, η μία με χωρική πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου ${\displaystyle \rho _{1}({\vec {r}})}$ σε όγκο ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1}}$ και η άλλη με χωρική πυκνότητα ${\displaystyle \rho _{2}({\vec {r}})}$ σε όγκο ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}}$ αντίστοιχα, ισχύει ^[1]:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{1\rightarrow 2}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint _{{\mathcal {V}}_{2}}\rho _{2}({\vec {r}})d^{3}r\iiint _{{\mathcal {V}}_{1}}{\frac {\rho _{1}({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{2}}}\cdot {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}d^{3}r'}$$

Απόδειξη

Έστω ένα σημειακό φορτίο ${\displaystyle Q}$ στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Η δύναμη που ασκείται σε αυτήν από ένα σύνολο ${\displaystyle n}$ άλλων σημειακών φορτίων ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},...Q_{n}}$ ικανοποιεί την αρχή της επαλληλίας, επομένως ισχύει:

$${\displaystyle {\vec {F}}=Q{\vec {E}}}$$όπου

$${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}^{2}}}{\hat {r_{i}}}}$$Στο όριο της συνεχούς κατανομής η παραπάνω σχέση γράφεται:

$${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint _{\mathcal {V}}{\frac {\rho }{r^{2}}}{\hat {r}}d^{3}r}$$

Παραπομπές

1. Griffiths, David J. (2023). Introduction to electrodynamics (Fifth edition έκδοση). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-39775-9. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Coulomb's law στο Wikimedia Commons