Verallgemeinerte Poisson-Verteilung

Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Sie ist eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den natürlichen Zahlen, die vor allem in der Versicherungsmathematik verwendet wird. Im Vergleich zur Poisson-Verteilung besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese.

Definition

Eine diskrete Zufallsvariable ${\displaystyle X_{n}}$ unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern ${\displaystyle \lambda }$ (Ereignisrate) und ${\displaystyle \theta }$, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

${\displaystyle P(X_{n}=k)={\frac {\theta (\theta +k\lambda )^{k-1}\;\mathrm {e} ^{-\theta -k\lambda }}{k!}}}$

besitzt. Setzt man ${\displaystyle \lambda =0}$, so ergibt sich die gewöhnliche Poisson-Verteilung zum Erwartungswert ${\displaystyle \theta }$.

Eigenschaften

• Die Varianz ist immer mindestens so groß wie der Erwartungswert (für ${\displaystyle \lambda >0}$ sogar größer). Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion (englisch overdispersion).
• Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch von der Panjer-Verteilung kennt.
• Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n})={\frac {\theta }{1-\lambda }}}$.

Varianz

Für die Varianz erhält man

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{n})={\frac {\theta }{(1-\lambda )^{3}}}}$.

Standardabweichung

Aus der Varianz erhält man wie üblich die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\theta }{(1-\lambda )^{3}}}}}$.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {1}{\theta (1-\lambda )}}}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1-2\lambda }{\sqrt {\theta (1-\lambda )}}}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)=e^{\theta (u-1)}}$ mit ${\displaystyle u=e^{is}e^{\lambda (u-1)}}$.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle g_{X}(s)=e^{\theta (u-1)}}$ mit ${\displaystyle u=ze^{\lambda (u-1)}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)=e^{\theta (u-1)}}$ mit ${\displaystyle u=e^{s}e^{\lambda (u-1)}}$.