Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik , die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden und wird auch als epidemiologisches Modell untersucht. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.
Definition
Eine Zufallsvariable
X
{\displaystyle X}
genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte
π π -->
(
λ λ -->
)
{\displaystyle \pi (\lambda )}
, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten
P
-->
(
X
=
k
)
=
p
π π -->
(
k
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
λ λ -->
k
k
!
e
− − -->
λ λ -->
π π -->
(
λ λ -->
)
d
λ λ -->
{\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }
besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit
q
λ λ -->
(
k
)
{\displaystyle q_{\lambda }(k)\,}
bezeichnen, gilt folglich
P
-->
(
X
=
k
)
=
p
π π -->
(
k
)
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
q
λ λ -->
(
k
)
π π -->
(
λ λ -->
)
d
λ λ -->
{\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }
.
Eigenschaften
Im Folgenden sei
μ μ -->
π π -->
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
λ λ -->
π π -->
(
λ λ -->
)
d
λ λ -->
{\displaystyle \mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,}
der Erwartungswert der Dichte
π π -->
(
λ λ -->
)
{\displaystyle \pi (\lambda )\,}
, und
σ σ -->
π π -->
2
=
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
(
λ λ -->
− − -->
μ μ -->
π π -->
)
2
π π -->
(
λ λ -->
)
d
λ λ -->
{\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )d\lambda \,}
die Varianz dieser Dichte.
Erwartungswert
Der Erwartungswert ergibt sich zu
E
-->
(
X
)
=
μ μ -->
π π -->
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }}
.
Varianz
Für die Varianz erhält man
Var
-->
(
X
)
=
μ μ -->
π π -->
+
σ σ -->
π π -->
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}
.
Standardabweichung
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung
σ σ -->
=
μ μ -->
π π -->
+
σ σ -->
π π -->
2
{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}}}
.
Variationskoeffizient
Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:
VarK
-->
(
X
)
=
μ μ -->
π π -->
+
σ σ -->
π π -->
2
μ μ -->
π π -->
2
{\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}{\mu _{\pi }^{2}}}}}
.
Schiefe
Die Schiefe lässt sich darstellen als
v
-->
(
X
)
=
(
μ μ -->
π π -->
+
σ σ -->
π π -->
2
)
− − -->
3
2
[
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
(
λ λ -->
− − -->
μ μ -->
π π -->
)
3
π π -->
(
λ λ -->
)
d
λ λ -->
+
μ μ -->
π π -->
]
{\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-{\frac {3}{2}}}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}}
.
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
φ φ -->
X
(
s
)
=
M
π π -->
(
e
i
s
− − -->
1
)
{\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1)\,}
.
Dabei ist
M
π π -->
{\displaystyle M_{\pi }}
die momenterzeugende Funktion der Dichte.
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man
m
X
(
s
)
=
M
π π -->
(
s
− − -->
1
)
{\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1)\,}
.
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist
M
X
(
s
)
=
M
π π -->
(
e
s
− − -->
1
)
{\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1)\,}
.
Literatur
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen