Eine identische Abbildung oder Identität ist in der Mathematik eine Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt. Obwohl sowohl die identische Abbildung als auch die Identitätsgleichung oft durch „Identität“ abgekürzt werden, handelt es sich um verschiedene Konzepte.
Sei eine Menge, dann ist die identische Abbildung auf definiert durch
das heißt, für jedes aus gilt
Die identische Abbildung ist somit eine Bijektion.
Der Index wird oft weggelassen, wenn die Definitionsmenge aus dem Kontext hervorgeht. In diesem Fall wird auch statt geschrieben. Statt der Notation wird manchmal die Schreibweise , mitunter auch nur oder vor allem in der Funktionalanalysis, benutzt.
Der Graph der identischen Abbildung ist die Diagonale[1]
Eigenschaften
Ist eine beliebige Funktion, dann gilt für die Komposition (Hintereinanderausführung) mit der Identität:
und
Daher ist in der Menge aller Funktionen von nach die Identität das neutrale Element bezüglich der Komposition. Somit bilden diese Funktionen ein Monoid. Insbesondere ist
die Identität das neutrale Element in der Gruppe der Permutationen der Menge .
Die Existenz von Identitäten ist ein wesentlicher Bestandteil in der Definition der Kategorie. In den bekanntesten Fällen handelt es sich dabei um die identischen Abbildungen, aber in der Kategorientheorie können die Identitäten auch abstraktere Objekte sein. Aber auch dann werden die Bezeichnungen oder verwendet und es gelten die oben genannten Verknüpfungsregeln.