Její otec Harry Tandy byl obchodní cestující u výrobce lan († 1921). Matka Jessie Helen Tandy, rozená Horspool, byla ředitelkou školy pro děti s mentálním postižením. Jessica byla nejmladší ze tří dětí. V dětství onemocněla tuberkulózou, což omezovalo její školní docházku na Dame Alice Owen's School. Na Ben GreetAcademy of Acting se zapsala v roce 1924, kde studovala u Lillian Simpsonové. Studia dokončila po třech letech a debutovala na jevišti v The Manderson Girls v londýnském Playhouse Six 22. listopadu 1927. Od osmnácti let účinkovala v divadlech londýnského West Endu v shakespearovských rolích po boku Johna Gielguda a Laurence Oliviera, v roce 1932 debutovala u filmu. Od roku 1940 žila v USA (roku 1952 obdržela americké občanství) a uplatnila se v divadlech na Broadwayi, v roce 1948 získala Cenu Tony za roli Blanche v premiérovém nastudování hry Tramvaj do stanice Touha. Vystupovala v televizním seriálu Zadáno pro Alfreda Hitchcocka, Alfred Hitchcock ji obsadil také do role Lydie ve filmu Ptáci (1963).
Její první manžel byl anglický herec Jack Hawkins (1910–1973), s nímž měla dceru Susan. Syna Christophera a dceru Tandy měla z manželství s kanadským hercem a spisovatelem jménem Hume Cronyn (1911–2003).