متتالية حسابية

في الرياضيات، المتتالية الحسابية أو المتتابعة الحسابية (بالإنجليزية: Arithmetic progression)‏ هي متتالية من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتالين ثابتا.^[1][2][3] على سبيل المثال فإن 3، 5، 7، 9، 11، 13، … هي متتالية حسابية لها أساس يساوي 2. أي أنّ 3، 5، 7 هي حدود من هذه المتتالية والأساس 2 هو العدد المضاف بين كل حدّين متتاليين.

إذا كان الحد الأول من المتتالية الحسابية هو ${\displaystyle a_{1}}$ والفرق بين حدين متتاليين هو ${\displaystyle d}$ عندها يعبر عن الحد ذي الترتيب ${\displaystyle n}$ من متتالية حسابية بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}$

أو بشكل عام:${\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}$

مثال

المتتالية 1 ،-3 ،-7، -11,.... حدها الأول هو 1 وأساسها هو 4- لأن الفرق بين حدين متتابعين يساوي دائما 4. وحتى نحصل على d نطرح كل حد من سابقه كالتالي:

${\displaystyle \ 1-(-3)=4}$

لايجاد الحد النوني العشرين على سبيل المثال، تُطبق المعادلة السابقة:

${\displaystyle \ a_{20}=1+(20-1)*-4=-75}$

المجموع

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

حساب المجموع 2 + 5 + 8 + 11 + 14. حين تكتب حدود المتتالية عكسيا، وتضاف إلى الحدود نفسها حداً حداً، تكون النتيجة مساوية لقيمة وحيدة متكررة، مساويةً لمجموع الحدين الأول والأخير (2 + 14 = 16). إذن، 16 × 5 = 80 هو ضعف المجموع المراد البحث عنه.

مجموع حدود متتالية حسابية منتهية يسمى متسلسلة حسابية. على سبيل المثال،:${\displaystyle 2+5+8+11+14}$

الاستنتاج

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}$

الجداء

جداء حدود متتالية حسابية منتهية، قيمتها الأولى هي a1، والفرق المشترك بين حدودها هو d وعدد عناصرها هو n:

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d({\frac {a_{1}}{d}}+1)d({\frac {a_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},}$

حيث ${\displaystyle \Gamma }$ هي دالة غاما.

الانحراف المعياري

يحسب الانحراف المعياري لممتالية حسابية كما يلي:

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

حيث n هو عدد الحدود في المتتالية وd هو الفرق بين حدين متتابعين ما.

مراجع

1. "معلومات عن متتالية حسابية على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2019-05-25.
2. "معلومات عن متتالية حسابية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2018-11-21.
3. "معلومات عن متتالية حسابية على موقع vocab.getty.edu". vocab.getty.edu. مؤرشف من الأصل في 2020-04-26.

انظر أيضا

• متتالية
• متتالية هندسية