Himpunan dari bilangan real (bulatan kosong dan bulatan penuh). himpunan bagian dari (bulatan penuh), dan infimum . Perhatikan bahwa untuk himpunan terurut total atau terhingga, infimum dan supremumnya adalah sama.Himpunan dari bilangan real (bulatan berwarna biru), himpunan batas atas (wajik berwarna dan bulatan merah), dan batas atas yang paling terkecil, yaitu, supremum (wajik berwarna merah).
Dalam matematika, infimumhimpunan bagian dari himpunan terurut parsial adalah anggota terbesar dalam , yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota , jika ada satu buah anggota.[1] Berdasarkan pengertian tersebut, infimum disebut batas bawah terbesar (bahasa Inggris: greatest lower bound), dan istilah itu umum digunakan.[1] Infimum disingkat sebagai "inf". Di sisi lain, supremum himpunan bagian dari himpunan terurut parsial adalah anggota terkecil dalam yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota , jika terdapat anggotanya.[1] Berdasarkan pengertian lagi, supremum juga disebut sebagai batas atas terkecil (bahasa Inggris: least upper bound).[2] Supremum disingkat sebagai "sup".
Infimum dan supremum dari bilangan real adalah kasus istimewa yang umum, yang penting dalam analisis matematika, khususnya dalam integrasi Lebesgue. Akan tetapi, definisi umum tetap valid dalam pengaturan teori order yang lebih abstrak
Komsep infimum dan supremum mirip seperti konsep minimum dan maksimum, tetapi konsep ini lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karakteristik spesial berbeda yang tidak memiliki minimum atau maksimum. Sebagai contoh, bilangan real positif, himpunan yang mengecualikan 0, tidak memiliki suatu minimum, karena dengan mudahnya setiap anggota yang diberikan dapat dibagi menjadi dua bagian dalam suatu bilangan lebih kecil yang masih terdapat di . Akan tetapi, terdapat satu buah infimum dari bilangan real positif: 0, bilangan yang lebih kecil daripada semua bilangan real positif, dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang dapat digunakan sebagai batas bawah.
Definisi formal
supremum = batas atas terkecil
Batas bawah himpunan bagian dari himpunan terurut parsial merupakan suatu anggota dari sehingga untuk semua dalam . Batas bawah dari disebut infimum jika untuk semua batas bawah dari di , maka , dalam artian bahwa lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya.
Dengan definisi yang serupa, batas atas himpunan bagian dari himpunan terurut parsial merupakan suatu anggota dari sehingga , untuk semua dalam . Batas atas dari disebut supremum dari jika untuk semua batas atas pada dalam , maka , dalam artian bahwa lebih kecil daripada atau sama dengan setiap batas atas lainnya.
Keberadaan dan ketunggalan
Infimum dan supremum tidak sepenuhnya harus ada. Keberadaan infimum dari himpunan terurut parsial dari dapat gagal jika tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan batas bawah tidak berisi suatu anggota terbesar. Namun, jika infimum atau supremum ada, maka batasnya dikatakan tunggal.
Keberadaan infimum dalam himpunan terurut parsial menjadi sangat menarik. Sebagai contoh, kekisi adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian tak kosong terhingga di dalamnya memiliki supremum dan infimum, serta kekisi sempurna adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian di dalamnya memiliki supremum dan infimum.
Jika supremum himpunan bagian ada, batasnya dikatakan tunggal, Jika berisi suatu anggota terbesar, maka anggota itu supremum, dan jika tidak, maka supremum bukan milik (alias tidak ada). Begitupula untuk infimum: Jika infimum ada, batasnya dikatakan tunggal. Jika berisi suatu anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, dan jika tidak, infimum bukan miliki (alias tidak ada).
Kaitannya dengan anggota maksimum dan minimum
Infimum himpunan bagian dari himpunan terurut parsial , asumsi kalau ada, tidak perlu milik . Jika hal tersebut benar, maka dapat dikatakan mempunyai anggota terkecil. Demikian pula, jika supremum milik , maka batasnya adalah anggota terbesar.
Sebagai contoh, misalkan ada himpunan bilangan real negatif (tak nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota himpunan, masih ada anggota lain yang lebih besar. Katakanlah, untuk setiap bilangan real negatif , masih ada bilangan real negatif yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti merupakan suatu batas atas himpunan tersebut. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki suatu supremum tetapi bukan anggota terbesar.
Namun, definisi anggota maksimum dan minimum adalah definisi yang lebih umum. Secara khusus, suatu himpunan dapat memiliki banyak anggota maksimum dan miniuml, sedangkan infimum dan supremum adalah tunggal. Anggota maksimum dan minimum harus merupakan anggota dari himpunan bagian yang diketahui, sedangkan infimum dan supremum himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.
Batas atas minimum
Suatu himpunan terurut parsial dapat memiliki banyak batas atas minimum tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimum adalah batas atas yang tidak ada anggota terkecil yang merupakan sebuah batas atas. Ini bukan berarti bahwa setiap batas atas minimum lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, melainkan hanya tidak lebih besar. Perbedaan antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika urutan yang diberikan bukanlah terurut total. Dalam himpunan terurut total, seperti bilangan real, konsepnya sama.
Sebagai contoh, misalkan adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangan asli terhingga, dan misalkan himpunan terurut parsial diperoleh dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari bersama dengan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan real positif , yang diurutkan dari inklusi himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya. Maka jelaslah dan lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. Akan tetapi, lebih kecil dari maupun sebaliknya tidak berlaku benar, sebab kedua himpunan tersebut merupakan batas atas minimum, tetapi tak ada satupun di antaranya yang merupakan supremum.
Sifat batas atas terkecil
Sifat batas atasterkecil adalah sebuah contoh sifat kelengkapan yang dijelaskan sebelumnya, yang khususnya untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut kelengkapan Dedekind.
Jika suatu himpunan terurut memiliki sifat bahwa setiap himpunan bagian tak kosong memiliki suatu batas atas yang juga memiliki suatu batas atas terkecil, maka dikatakan memiliki sifat batas atas terkecil. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan dari semua bilangan real memiliki sifat batas atas terkecil. Demikian pula, himpunan dari bilangan bulat memiliki sifat batas atas terkecilil, jika adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari dan ada suatu bilangan sehingga setiap anggota dari lebih kecil dari atau sama dengan , maka terdapat suatu batas atas terkecil untuk , sebuah bilangan bulat yang merupakan batas atas untuk dan yang lebih kecil dari atau sama dengan setiap batas atas lainnya untuk . Himpunan terurut rapi juga memiliki sifat batas atas terkecil, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki suatu batas atas terkecil, yaitu anggota terkecil dari seluruh himpunan.
Ada sebuah contoh untuk himpunan yang memiliki sedikit sifat batas atas terkecil, yaitu , himpunan bilangan rasional. Misalkan adalah himpunan dari semua bilangan rasional , sehingga . Maka memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, atau 6) tetapi tidak ada batas atas di . Jika memisalkan adalah batas atas terkecil, maka dapat disimpulkan adanya kontradiksi, karena antara setiap dua bilangan real dan (seperti dan ), terdapat suatu bilangan rasional , yang sendirinya akan menjadi batas atas terkecil (jika ). Contoh lainnya adalah bilangan hiperreal sebab tidak punya batas atas terkecil dari himpunan infinitesimal positif.
Terdapat sebuah sifat batas bawah terbesar yang sama, suatu himpunan terurut memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila himpunan tersebut juga memiliki sifat batas atas terkecil; batas atas terkecil dari himpunan batas bawah dari himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas atas terkecil dari himpunan.
Jika setiap himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum di himpunan terurut parsial , maka ini juga berlaku bahwa untuk setiap himpunan , akan ada semua fungsi yang dipetakan dari ke dalam ruang fungsi, dengan jika dan hanya jika untuk semua dalam . Sebagai contoh, pernyataan tersebut berlaku untuk fungsi real, bilangan real -tupel dan barisan bilangan real, sebab dapat dianggap kasus fungsi khusus.
Dalam analisis matematika, infimum dan supremum himpunan bagian dari bilangan real sangat penting. Sebagai contoh, bilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremumnya adalah 0 (yang bukan bilangan real negatif).[3]Kelengkapan bilangan real mengimplikasikan (dan ekuivalen dengan pernyataan) bahwa setiap himpunan bagian tak kosong berbatas dari bilangan real memiliki satu buah infimum dan satu buah supremum. Jika tidak berbatas bawah, maka umumnya ditulis secara formal, yaitu . Jika kosong, maka ditulis .
Sifat-sifat
Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika di himpunan. Misalkan himpunan , dan misalkan skalar . Hal ini mendefinisikan
, hasil kali skalar dari suatu himpunan hanyalah skalar dikalikan oleh setiap anggota di himpunan.
, disebut sebagai penjumlahan Minkowski, penjumlahan aritmetika dua himpunan adalah jumlah dari semua kemungkinan pasangan bilangan, anggota dari setiap himpunan.
, hasil kali artimetika dua himpunan adalah hasil kali semua pasangan anggota, anggota dari setiap himpunan.
Dalam kasus tersebut untuk himpunan dan mempunyai infimum dan supremum, berlaku identitas berikutː
jika dan hanya jika setiap , terdapat dengan untuk setiap .
Jika , maka dan .
Jika , maka dan .
Jika , maka dan .
, dan .
Jika , himpunn tak kosong bilangan real positif maka , dan hal ini berlaku sama untuk supremum.[4]
Dualitas
Jika dualitas dilambangkan dengan , maka himpunan terurut parsial dengan relasi urutan berlawanan, dalam artian: di jika dan hanya jika dalam , untuk semua dan , maka infimum himpunan bagian di sama dengan , dan begitupula untuk sebaliknya.
Untuk himpunan bagian dari bilangan real, terdapat dualitas lain yang berlaku , dengan .
Contoh
Infimum
Infimum himpunan bilangan adalah . adalah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karena itu, bukanlah infimum.
Lebih umum, jika suatu himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, anggota terkecil itu juga disebut minimum dari himpunan.
.
,
.
.
Jika adalah barisan menurun dengan limit , maka .
Supremum
Supremum himpunan bilangan adalah . adalah batas atas, tetapi bukan batas atas terkecil, dan karena itu, bukanlah supremum.
Supremum himpunan yang mengandung beberapa himpunan merupakan gabungan subhimpunan dari himpunan terurut parsial , dengan menyatakan pangkat kuasa dari , dan menyatakan himpunan bagian.
Dewan Agung dan Umum Consiglio Grande e GeneraleJenisJenisUnikameral PimpinanCapitani reggentiEnrico CarattoniMatteo Fiorini sejak 1 Oktober 2017 Anggota60Tempat bersidangPalazzo PubblicoSan MarinoSitus webDewan Agung dan Umum L • BBantuan penggunaan templat ini Dewan Agung dan Umum (bahasa Italia: Consiglio Grande e Generale) adalah badan legislatif di Republik San Marino. Parlemen ini terdiri dari 60 anggota yang dipilih untuk masa jabatan selama lima tahun. Hukum pemilu legislatif …
Ángeles del infiernoHells Angels Motorcycle Club Acrónimo HAMCTipo banda de motociclistasForma legal Club de motosFundación 17 de marzo de 1948 (75 años)[1]Fundador Familia BishopÁrea de operación Mundial (425 capítulos en 50 países)[2]Miembros 3500Filiales Hells AngelsHells AngelsEstructuraSitio web www.hells-angels.com [7][editar datos en Wikidata] Hells Angels Motorcycle Club (HAMC por sus siglas en inglés; en español: Motoclub Ángeles del Infierno) es …
Cantón de Port-Louis Cantón Situación del cantón de Port-Louis Coordenadas 47°43′22″N 3°16′26″O / 47.72289877, -3.27376914Capital Port-LouisEntidad Cantón • País Francia • Región Bretaña • Departamento Morbihan • Distrito LorientConsejero general Jacques Le Ludec (2011-2015)Subdivisiones Comunas 9Superficie • Total 137 km²Población (2012) • Total 30 057 hab. • Densidad 219,09 h…
Ambassador of Israel to RussiaEmbassy of Israel in MoscowIncumbentYacov Livnesince 2019Inaugural holderGolda MeirFormationSeptember 10, 1948 The Israeli ambassador in Moscow is the official representative of the Government of Israel to the Government of Russia. When Gary Koren left in 2019, his deputy, Keren Cohen Gat, headed the embassy until Yacov Livne arrived on November 8 as temporary chargé d'affaires.[1] List of representatives Diplomatic agrément/Diplomatic accreditation a…
Canadian politician Jacques de ChamblyGovernor of AcadiaIn office1673–1677Preceded byHector d'Andigné de GrandfontaineSucceeded byJohn RhoadesGovernor of GrenadaIn office1679–1680Preceded byPierre de Sainte-Marthe de LalandeSucceeded byNicolas de GabaretGovernor of MartiniqueIn office1680–1687Preceded byAntoine André de Sainte-MartheSucceeded byCharles de Peychpeyrou-Comminges de Guitaut Personal detailsBornChamouille, FranceDied1687OccupationSoldier Jacques de Chambly (died 1687) was fr…
Demographics of North KoreaNorth Korea population pyramid in 2020Population25.97 million (2021)Density199.54 inhabitants / sq. km. (2008)Growth rate0.84% (1993–2008)Birth rate14.35 births/1,000 population (2021 est.)Death rate9.39 deaths/1,000 population (2021 est.)Life expectancy71.65 years (2021 est.) • male67.79 years (2021 est.) • female75.74 years (2021 est.)Fertility rate1.91 children born/woman (2021 est.)Infant mortality rate22.42 deaths/1,000 live births (2021 …
Nikah DuluanBannerSutradara Danial Rifki Produser Ferry Ardiyan Ody Mulya Hidayat Ditulis oleh Dewi Pramita SkenarioDewi PramitaPemeran Tissa Biani Kenny Austin Dea Annisa Della Dartyan Sidik Eduard Della Dartyan Tengku Resi Revado Elgi Purnama Penata musikJoseph Setiawan DjafarSinematograferRiano Indra KusumaPenyuntingD.K SenjaPerusahaanproduksiMNC PicturesDistributorRCTI+Tanggal rilis 22 Januari 2021 (2021-01-22) (RCTI+) Durasi83 menitNegara Indonesia Bahasa Indonesia Nikah Dulu…
1991 Australian film by Mark Joffe The Efficiency Expert redirects here. For the 1921 novel, see The Efficiency Expert (novel). SpotswoodDirected byMark JoffeWritten byMax DannAndrew KnightProduced byRichard BrennanTimothy WhiteStarring Anthony Hopkins Ben Mendelsohn Alwyn Kurts Bruno Lawrence Angela Punch McGregor Daniel Wyllie Toni Collette Russell Crowe Edited byOffshoot FilmsMusic byRicky FataarProductioncompaniesAustralian Film CommissionAustralian Film Finance CorporationFilm VictoriaMerid…
American gridiron football player (born 1986) Not to be confused with Drew Wylie. Drew WillyWilly with the Winnipeg Blue Bombers in 2016Born: (1986-11-13) November 13, 1986 (age 37)Randolph, New Jersey, U.S.Career informationCFL statusAmericanPosition(s)QBHeight6 ft 4 in (193 cm)Weight214 lb (97 kg)CollegeBuffaloHigh schoolRandolph (NJ)HandRightCareer historyAs player2009Baltimore Ravens*2009Indianapolis Colts2010Las Vegas Locomotives2011New York Jets*2011San D…
Albatros D.I Jenis Fighter Pembuat Albatros Flugzeugwerke Perancang Robert Thelen Diperkenalkan 1916 Pengguna utama Germany Jumlah 50 Albatros D.I adalah pesawat tempur Jerman yang digunakan semasa Perang Dunia I. Meskipun karier operasionalnya sangat pendek, kapal ini merupakan kapal tupe Albatros D yang menjadi andalan skuardon tempur Jerman dan Austria dalam dua tahun terakhir sebelum perang berakhir. Bibliografi Cheesman, E.F. (1960). Fighter Aircraft of the 1914-1918 War. Harleyford Pu…
American singer (born 1999) Madison BeerBeer in 2019BornMadison Elle Beer[1] (1999-03-05) March 5, 1999 (age 24)Jericho, New York, U.S.[2]OccupationSingerYears active2012–presentWorksDiscographyAwardsFull listMusical careerGenres Pop[3][4] hip hop EDM[5] R&B[3] Labels Island First Access Epic Sing It Loud Member ofK/DAWebsitemadisonbeer.com Musical artist Madison Elle Beer[1] (born March 5, 1999)[6] is an American si…
Anti-Palestinian/anti-Arab slogan Desecration of a grave in the city of Bethlehem shortly after the end of the Second Intifada. The graffiti reads Death to the Arabs in Hebrew. Death to Arabs or Death to the Arabs (Hebrew: מָוֶת לָעֲרָבִים Māwet lā-Arāvīm) is a slogan commonly used by Jewish extremists across Israel and the West Bank. Depending on the person's temperament, it may specifically be an expression of anti-Palestinianism or otherwise a broader expression of anti-Ara…
American basketball player (born 2000) Ochai AgbajiAgbaji in 2022No. 30 – Utah JazzPositionShooting guardLeagueNBAPersonal informationBorn (2000-04-20) April 20, 2000 (age 23)Milwaukee, Wisconsin, U.S.Listed height6 ft 5[1] in (1.96 m)Listed weight215 lb (98 kg)Career informationHigh schoolOak Park(Kansas City, Missouri)CollegeKansas (2018–2022)NBA draft2022: 1st round, 14th overall pickSelected by the Cleveland CavaliersPlaying career2022–pres…
Malang Sarr Sarr bermain untuk Chelsea pada Piala Dunia Antarklub FIFA 2021Informasi pribadiNama lengkap Malang Mamadou William Georges Sarr[1]Tanggal lahir 23 Januari 1999 (umur 24)Tempat lahir Nice, Prancis[2]Tinggi 182 cm (6 ft 0 in)[2]Posisi bermain Bek tengahInformasi klubKlub saat ini ChelseaNomor 31Karier junior2005–2016 NiceKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2015–2017 Nice II 13 (0)2016–2020 Nice 102 (3)2020– Chelsea 5 (0)2020–2021 …
Latin Grammy Award for Best Portuguese Language Roots AlbumAwarded forVocal or instrumental Portuguese Language Roots albums containing at least 51% playing time of newly recorded material. For Solo artists, duos or groups.CountryUnited StatesPresented byThe Latin Recording AcademyFirst awarded2000Currently held byGaby Amarantos for TecnoShow (2023)Websitelatingrammy.com The Latin Grammy Award for Best Portuguese Language Album is an honor presented annually at the Latin Grammy Awards, a ceremon…
British TV series or programme King of the CastleGenreFantasyDramaChildren'sWritten byBob BakerDave MartinCountry of originUnited KingdomOriginal languageEnglishNo. of series1No. of episodes7 (list of episodes)ProductionRunning time30 minutesProduction companyHTV WestOriginal releaseNetworkITVRelease8 May (1977-05-08) –19 June 1977 (1977-06-19) King of the Castle is a British children's television fantasy drama serial made by HTV for ITV in 1977.[1][2] Produ…