Ruang metrik lengkap

"Penyelesaian Cauchy" beralih ke halaman ini. Untuk penggunaan dalam teori kategori, lihat amplop Karoubi.

Dalam analisis matematika, sebuah ruang metrik M disebut lengkap (atau ruang Cauchy) jika setiap barisan Cauchy dari titik-titik di M memiliki limit yang juga ada di M atau, sebagai alternatif, jika setiap barisan Cauchy pada M dengan M.

Secara intuitif, suatu ruang dikatakan "lengkap" apabila tidak ada "titik yang hilang" darinya (di dalam atau di perbatasan). Misalnya, himpunan bilangan rasional tidak lengkap, karena, sebagai contoh, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ adalah "hilang" darinya, meskipun seseorang dapat membangun suatu barisan Cauchy dari bilangan rasional yang konvergen menuju ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ itu (lihat contoh lebih lanjut di bawah). "Semua lubang" pada ruang tak lengkap itu akan selalu dapat diisi, yakni dengan membangun suatu "pelengkap" dari ruang tersebut, seperti yang dijelaskan di bawah ini.

Definisi

Suatu barisan x₁, x₂, x₃, ... dalam ruang metrik (X, d) disebut Cauchy apabila untuk setiap positif bilangan riil r > 0 ada bilangan bulat N positif sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif m, n > N,

d(x_m, x_n) < r.

Konstanta ekspansi^[1] dari suatu ruang metrik adalah batas bawah terbesar dari semua konstanta ${\displaystyle \textstyle \mu }$ sedemikian sehingga apabila keluarga${\displaystyle \textstyle \left\{{\overline {B}}(x_{\alpha },\,r_{\alpha })\right\}}$ saling berisisan pasang-demi-pasang, maka irisan ${\displaystyle \bigcap _{\alpha }{\overline {B}}(x_{\alpha },\mu r_{\alpha })}$ tidak kosong.

Ruang metrik (X, d) dikatan lengkap apabila salah satu kondisi yang setara berikut terpenuhi:

1. Setiap barisan Cauchy dari titik-titik di X memiliki limit yang juga ada di X
2. Setiap barisan Cauchy di X konvergen menuju X (yaitu, ke beberapa titik X).
3. Konstanta ekspansi (X, d) adalah ≤ 2.^[1]
4. Setiap barisan menurun dari himpunan bagian tertutup tak kosong ditutup dari X, dengan diameter cenderung ke 0, memiliki irisan tak kosong: jika F_n tertutup dan tidak kosong, F_n+1 ⊆ F_n untuk n, dan diam(F_n) → 0, maka x ∈ X umum untuk semua himpunan F_n.

Contoh

Ruang Q dari bilangan rasional dengan metrik standar yang diberikan oleh nilai mutlak dari selisih bukanlah ruang metrik lengkap. Sebagai contoh, perhatikan barisan dengan x₁ = 1 dan ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.}$ Barisan ini adalah barisan bilangan rasional Cauchy, tetapi tidak konvergen menuju limit rasional apa pun: Jika deret itu memang memiliki limit x, maka dengan menyelesaikan ${\displaystyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$, haruslah x² = 2, namun tiada bilangan rasional yang memiliki sifat ini. Namun jika barisan tersebut dianggap sebagai barisan bilangan riil, maka barisan itu konvergen ke bilangan irasional ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Interval buka ( 0,1), pun dengan metrik nilai mutlak, juga bukan ruang metrik lengkap. Barisan dengan x_n = 1n adalah barisan Cauchy, tetapi tidak memiliki limit dalam ruang yang diberikan. Namun pada interval tertutup [ 0,1]; barisan tersebut memiliki limit dalam interval ini dan limitnya adalah nol.

Ruang R dari bilangan real dan spasi C dari bilangan kompleks (dengan metrik yang diberikan oleh nilai absolut) lengkap, dan begitu pula ruang Euklides Rⁿ, dengan metrik jarak biasa. Sebaliknya, ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga mungkin lengkap atau tidak lengkap; yang lengkap adalah ruang Banach. Ruang C[a, b] dari fungsi bernilai riil kontinu pada interval tertutup dan terbatas adalah ruang Banach, dan ruang metrik kompleks. Namun norma supremum tidak memberikan norma pada ruang C(a, b) fungsi kontinu (a, b), karena mungkin berisi fungsi tak terbatas. Sebaliknya, dengan topologi konvergensi komplek, C(a, b) dapat diberikan struktur Ruang Fréchet: ruang vektor topologi cembung lokal yang topologinya dapat diinduksi oleh metrik invarian-translasi lengkap.

Ruang Q_p of bilangan p-adic selesai untuk semua bilangan prima p. Ruang ini melengkapi Q dengan p -metrik adic dengan cara yang sama seperti R melengkapi Q dengan metrik biasa.

Jika S adalah himpunan arbitrer, maka himpunan tersebut S^N dari semua barisan di S menjadi ruang metrik lengkap jika kita menentukan jarak antara barisan (x_n) dan (y_n) menjadi 1N, dengan N adalah indeks terkecilnya x_N adalah berbeda dari y_N, atau 0 jika tidak ada indeks seperti itu. Spasi ini homeomorfik ke produk dari terhitung jumlah salinan ruang diskrit S.

Manifold Riemannian kompleks disebut manifold geodesik; kelengkapan mengikuti dari teorema Hopf–Rinow.

Beberapa teorema

Setiap ruang metrik kompak merupakan ruang metrik lengkap, meskipun ruang lengkap belum perlu kompak. Faktanya, ruang metrik kompak jika dan hanya jika lengkap dan terbatas total. Ini adalah perumuman dari Teorema Heine–Borel, yang menyatakan bahwa setiap subruang tertutup dan berbatas S dari Rⁿ kompleks dan karena itu lengkap.^[2]

Maka (X, d) menjadi ruang metrik lengkap. Jika A ⊆ X adalah himpunan tertutup, maka A.^[3] Maka (X, d) menjadi ruang metrik. Jika A ⊆ X adalah subruang kompleks, maka A tertutup.^[4]

Jika X adalah himpunan dan M adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan B(X, M) dari semua fungsi terbatas f dari X hingga M adalah ruang metrik lengkap. Di sini kami mendefinisikan jarak dalam B(X, M) dalam hal jarak di M dengan norma supremum

${\displaystyle d(f,g)\equiv \sup \left\{d[f(x),g(x)]:x\in X\right\}}$

Jika X adalah ruang topologi dan M adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan C_b(X, M) terdiri dari semua kontinu fungsi yang dibatasi f dari X hingga M adalah subruang tertutup dari {{math|B(X, M).

Teorema kategori Baire mengatakan bahwa setiap ruang metrik lengkap adalah ruang Baire. Yaitu, gabungan dari terhitung banyak tempat padat himpunan bagian ruang memiliki interior kosong.

Teorema titik tetap Banach menyatakan bahwa pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap mengakui titik tetap. Teorema titik tetap sering digunakan untuk membuktikan teorema fungsi invers.

Teorema^[5] (C. Ursescu) — Misalkan X menjadi ruang metrik komplek dan maka S₁, S₂, ... menjadi urutan himpunan bagian dari X.

• Jika S_i ditutup dalam X maka ${\displaystyle \operatorname {cl} \left(\cup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left(\cup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}$.
• Jika S_i maka X ${\displaystyle \operatorname {int} \left(\cap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left(\cap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}$.

Pelengkap

Untuk setiap ruang metrik M , seseorang dapat membuat ruang metrik lengkap M ′ (yang juga dilambangkan sebagai M), yang berisi M sebagai subruang padat. Ini memiliki sifat universal berikut: jika N adalah spasi metrik lengkap dan f adalah fungsi kontinu seragam dari M hingga N , maka ada tunggal fungsi kontinu seragam f ' dari M ′ ke N. Ruang M 'ditentukan hingga isometri oleh sifat ini (di antara semua ruang metrik lengkap yang secara isometrik mengandung M), dan disebut pelengkap dari M.

Pelengkap M dapat dibangun sebagai satu set kelas ekivalen dari barisan Cauchy di M . Untuk dua barisan Cauchy x = (x_n) dan y = (y_n) di M , kita dapat mendefinisikan jarak mereka sebagai

${\displaystyle d(x,y)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)}$

(Batas ini ada karena bilangan real lengkap.) Ini hanya pseudometrik, belum menjadi metrik, karena dua barisan Cauchy yang berbeda mungkin memiliki jarak 0. Tapi "memiliki jarak 0" adalah relasi ekuivalen pada himpunan semua barisan Cauchy, dan himpunan kelas kesetaraan adalah ruang metrik, pelengkap dari M . Ruang asli disematkan di ruang ini melalui identifikasi elemen x dari M ' dengan kelas ekivalen barisan dalam M yang menyatu dengan x (yaitu, kelas ekivalen yang berisi barisan dengan nilai konstan x ). Ini mendefinisikan isometri ke subruang padat, seperti yang diperlukan. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa konstruksi ini menggunakan secara eksplisit kelengkapan bilangan real, jadi pelengkap bilangan rasional membutuhkan perlakuan sedikit berbeda.

Lihat pula

• Pelengkap (aljabar)
• Ruang seragam lengkap – setiap Urutan Cauchy titik di M memiliki batas yang juga ada di M atau, sebagai alternatif, jika setiap urutan Cauchy pada M dengan M
• Ruang vektor topologi lengkap – setiap Urutan Cauchy titik di M memiliki batas yang juga ada di M atau, sebagai alternatif, jika setiap urutan Cauchy pada M dengan M
• Teorema Knaster–Tarski

Catatan

1. Grünbaum, B. (1960). "Some applications of expansion constants". Pacific J. Math. 10 (1): 193–201. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-04.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
2. Sutherland, Wilson A. Introduction to Metric and Topological Spaces. ISBN 978-0-19-853161-6. 
3. "Archived copy". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-06-30. Diakses tanggal 2007-01-14.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
4. "Archived copy". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-06-30. Diakses tanggal 2007-01-14.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
5. Zalinescu, C (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific. hlm. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112. 

Referensi

• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6. 
• Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
• Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" ISBN 0-387-94001-4
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduction to functional analysis. Ramanujan, M.S. (trans.). Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.